Fonksiyon - Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    A. TANIM

    A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.

    " x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.

    fonksiyon1.png

    Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

    f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

    biçiminde de gösterilir.

    * Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

    * Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

    * s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

    1) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

    2) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

    3) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.

    * Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

    B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

    f ve g birer fonksiyon olsun.

    f : A ® IR

    g : B ® IR

    olmak üzere,

    1) f ± g: A Ç B ® IR

    (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

    2) f . g: A Ç B ® IR

    (f . g)(x) = f(x) . g(x)

    3) fonksiyon2.png

    fonksiyon3.png

    C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

    1. Bire Bir Fonksiyon

    Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

    "x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

    x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

    * s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

    A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

    fonksiyon4.png

    2. Örten Fonksiyon

    Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

    * f : A ® B

    f(A) = B ise, f örtendir.

    * s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

    m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

    3. İçine Fonksiyon

    Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

    * İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

    * s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

    4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

    Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

    f : IR ® IR

    f(x) = x

    birim (etkisiz) fonksiyondur.

    * Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

    5. Sabit Fonksiyon

    Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

    * "x Î A ve c Î B için

    f : A ® B

    f(x) = c

    fonksiyonu sabit fonksiyondur.

    * s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

    6. Çift ve Tek Fonksiyon

    f : IR ® IR

    f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

    f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

    * Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

    * Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

    D. EŞİT FONKSİYON

    f : A ® B

    g : A ® B

    "x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

    E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

    f : A ® A

    olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

    A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

    f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

    fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup fonksiyon5.png biçiminde gösterilir.

    F. TERS FONKSİYON

    f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.

    fonksiyon6.png

    * Uygun koşullarda, f(a) = b * f – 1(b) = a dır.

    * f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, fonksiyon7.png

    * fonksiyon8.png

    fonksiyon9.png

    * (f – 1) – 1 = f dir.

    * (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.

    *> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

    * B Ì IR olmak üzere,

    fonksiyon10.png

    f(x) = ax2 + bx + c ise,

    fonksiyon11.png

    * B Ì IR olmak üzere,

    fonksiyon12.png

    f(x) = ax2 + bx + c ise,

    fonksiyon13.png

    G. BİLEŞKE FONKSİYON

    1. Tanım

    f : A ® B

    g : B ® C

    olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

    (gof)(x) = g[f(x)] tir.

    2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri

    1) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

    fog ¹ gof

    Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez.

    2) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

    fo(goh) = (fog)oh = fogoh

    3) foI = Iof = f

    olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

    4) fof – 1 = f – 1of = I

    olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

    5) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.
     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016