Mutlak Değer

Matematik bölümünde yer alan bu konu SüKuN tarafından paylaşıldı.

  1. SüKuN

    SüKuN Harbi Aktif Üye

    MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ
    VE
    İŞLEVLERİ


    Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve │x│ ile gösterilir.



    x , R nin elemanıdır ve
    │x│ ={x, x > 0 ise
    {-x,x < 0 ise
    şeklinde tanımlanır.
    │f(x)│ ={f(x),f(x) > 0 ise
    {-f(x),f(x)< 0 ise
    Örnek:=
    Örnek:=
    Örnek:=
    Örnek: x =-3 için │x-5│ - │x+2│ ifadesinin eşiti kaçtır?

    Çözüm: │-3-5│ - │-3+2 │ = 8-1=7

    Örnek: a<b<0olduğuna göre,
    │a+b│ - │a-b │ ifadesinin eşiti nedir?

    Çözüm: │a+b│ - │a-b│ = -(a+b) -[ -(a-b) ]
    =-a-b+a-b
    =-2b
    Örnek: x<0<y olmak üzere
    ifadesini sadeleştirin

    ÖZELLİKLERİ

    a,b elemandır R için
    1) │a│≥ 0 dır
    2) │a │ = │ -a│
    3) - │ a│≤a ≤│a│
    4) │a.b│ = │a│.│b │
    5) b≠ 0 için │a/b │= │a│ / │b │
    6) │IaI-IbI│≤│a+b│ < │a│ + │b │ (üçgen eşitsizliği)
    7) n elemanıdır Z+ olmak üzere │an │ = │a│n
    8) a> 0,x elemanıdır R ve │x│< a ise -a <x <a
    9) a>0,x elemanıdır R,│x│≥ a ise x≥ a veya x ≤ -a dır.
    10)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
    11)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
    12)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
    13)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

    İSPATLAR

    Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
    a > 0 ise IaI = a >0
    a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
    O halde IaI > 0 dır.
    Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
    Öz.6) a elemanıdır R için -IaI ≤ a ≤ IaI
    b elemanıdır R için -IbI ≤ b≤ IbI
    +
    -IaI-IbI≤a+b≤IaI+IbI
    O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.
    Öz.7) a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.
    Ia nI=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaIn dir.
    (n tane) ( n tane )
    Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.
    a)a < 0 ise IaI = -a dır.
    IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
    -IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.
    b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.
    c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
    -IaI≤ 0≤ IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.

    Örnek:x,y R olmak üzere
    A=ifadesinin alabileceği minumum değeri bulunuz.
    Örnek:a<b<0<c olmak üzere
    ifadesini en sade biçimde yazınız.

    MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
    Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.
    Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
    1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5
    3x = 12 3x = 2
    x = 4 x = 2/3
    Ç={4,2/3}
    Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
    Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
    x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
    O halde 8 tane doğal sayı vardır.
    Soru: = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?


    Çözüm: = 2



    5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2
    5-2x = 6 veya 5-2x = -6
    x = -1/2 veya x = 11/2
    Ç ={-1/2,11/2}
    Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
    Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5


    4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5
    I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9

    2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm:O

    x = 2 x = 1



    O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
    Uyarı:Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme () olur.

    MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER


    Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

    Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
    =4<x<10 Ç={5,6,7,8,9}
    Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.
    Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7
    ***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.


    Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
    = -1 < Ix-5I < 5
    Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
    Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
    = 0 < x < 10
    Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.




    Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

    Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
    = -2+7 < 2x < 2+7
    = 5 < 2x < 9
    = 5/2 < x < 9/2
    Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
    Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
    Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
    I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.

    Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?

    a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4
    Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
    = -9+3 < 3x < 9+3
    = -6 < 3x < 12
    = -6/3 < x < 12/3
    = -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
    Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
    = 1+2 < x < 3+2
    = 3 < x < 5
    Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.

    MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK
    ALIŞTIRMALAR

    Soru 3: |x|  2 => -2<x<2 dir.
    Soru 4: |x|  2 => x > 2 veya x < -2 dir.
    Soru 5: |x-1| = 3 => x-1=3 veya x - 1 = -3
    x = 4 veya x = -2 dir.
    Soru 6: a<b<0<c olmak üzere;
    a +c + b-c+c - a
    = -a + c - (b - c) + c – a
    = -a + c-b + c + c- a
    = 3c - 2a - b dir.
    Soru 7:x-5= 3 => x - 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
    x = 8 veya x = 2
    x = 8 veya x =- 8 veya
    x = 2 veya x =- 2 dir.
    Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
    Soru 8: ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
    x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
    x-1 = - 10 olamayacağından kök yoktur.
    x-1 = 2 ise x - 1 = 2 veya x - 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
    Ç.K = {-1,3}

    Soru 9: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
    *** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
    Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
    Soru 10: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
    Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10

    Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
    Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
    Ç = {O}
    x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14





    Soru11: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
    a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14




    Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8

    I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
    Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
    Ç = {O}
    x-1 = 3 veya x-1 = -3
    x = 4 veya x = -2
    x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)
    Soru 12: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
    a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12



    Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7

    Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
    Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
    Ç = {O}
    x-2 = 10 veya x-2 = -10
    x = 12 veya x = -8
    x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)
    Soru 13: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
    Çözüm:
    I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I

    = I 7-[3-5] I
    = I 7-(-2) I
    = I 7+2 I
    = I 9 I = 9
    Soru 14: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
    a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2
    Çözüm: I Ix-2I-5 I


    Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
    Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
    x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
    x = 8 x = -4 x = 6 x = -2


    Soru 15: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)
    Çözüm:
    Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
    = -6 < x < 2
    Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)

    Soru 16: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
    a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 (ÖSS 2000)
    Çözüm:
    IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.
    x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)
    Soru 17:
    f(x) = 12 fonksiyonunun en büyük değeri
    Ix-1I+Ix+3I

    nedir?
    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
    Çözüm:
    x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,

    f(-3) = 12 = 12/4 =3 tür.
    I-3-1I+I-3+3I
    ( Cevap B dir.)

    Soru 18:x-1 6 olduğuna göre, x - 2y + 2 = O koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
    A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2000-ÖSS)
    ÇÖZÜM
    x-2y + 2 = 0 => x = 2y- 2 dir.
    x < 6 => 2y - 2 6 => -6  2y - 2 < 6 dır.
    Buradan, -4 < 2y < 8 => -2 < y < 4 bulunur.
    Bu koşulu sağlayan y tamsayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 olup 7 tanedir.
    Cevap: A'dır.
    Soru 19:x+24 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS)
    ÇÖZÜM
    x+24 ise < 4 ise -4 < x + 2 < 4
    -4-2<x+2-2<4-2
    -6 < x < 2
    x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır.
    Cevap: B'dir.


    Soru 20: x < 0 olmak üzere x-|x-8| - 8 ifadesi aşağı&shy;dakilerden hangisine eşittir?
    A)16 B)-2x C)-4x D)-2x+16 E)-4x+16 (1999-ÖSS)
    ÇÖZÜM
    x-|x-8| - 8 = ?
    x-8| = -(x-8) = -x+8
    (-)
    = x-(-x+8) - 8 |2x-8|-8
    (-)
    = - (2x - 8) - 8 = -2x + 8 - 8 = -2x
    Cevap: B'dir.

    Soru22: |x-4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerle&shy;rinin toplamı kaçtır?
    A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 (2001-ÖSS)
    ÇÖZÜM
    Mutlak değerin içini 0 yapan değerler x = 4 ve x = 0 dır. x < 0 için, -x + 4-x = 8 olur.
    -2x = 4 => x = - 2 dir.
    0 < x < 4 için, -x + 4 + x = 8 olur.
    4 = 8 olduğundan bu aralıkta sağlayan x değeri yoktur. x > 4 için, x - 4 + x = 8 olur.
    2x = 12 => x = 6 dır.
    x değerleri toplamı -2 + 6 = 4 olur.
    Cevap: B'dir.
    Soru 23: x < 0 < y olduğuna göre
    3. |x-y|
    |y+|x| |
    y+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
    A)-3x B)-3y C) 3 (x + y) D) - 3 E) 3 (1995-ÖSS)
    ÇÖZÜM
    3 |x - y| ifadesinde (x - y) < 0 olduğundan
    3 |x - y| = - 3 (x - y) olur.
    Benzer şekilde x<0 => |x| = - x olur.
    | y + |x| | = |y-x| = y-x
    +
    3(x-y) = -3(x-y) =3
    y-x -(x-y)
    Cevap: E'dir.
    Alıştırmalar
    1. x, y, z negatif tamsayılar olmak üzere,
    ise
    | z - y| + | x + z| + | y - x| ifadesi neye eşittir?
    A) 2x-2y B) 2z-2x C)0 D) -2x E) 2y
    2. 3 katının 4 fazlası kendisinin karesinden büyük olan en küçük tamsayı kaçtır?
    A)-1 B) 0 C)1 D) 2 E) 3
    3. a < b < 0 < c koşulu ile aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
    A) a2 < ab B) c - a - b > 0 D) a.b > c E)f<0