İkinci ve Üçüncü Dereceden Denklemler

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

    A. TANIM
    a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,
    ax2 + bx + c = 0
    biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
    Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

    B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU
    1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi
    ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0
    biçiminde yazılabiliyorsa
    f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
    Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

    2. Diskiriminant (D) Yöntemi
    ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi
    ikinkesir01.png

    ax2 + bx + c = 0
    denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.
    a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.
    Bu kökleri, ikinkesir02.png
    b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.
    c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.
    Bu kökler, ikinkesir03.png
    Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.
    Ü ax2 + bx + c = 0
    denkleminin kökleri simetrik ise,
    1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.
    2) Simetrik kökleri gerçel ise,
    b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

    C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ
    BAĞINTILAR

    ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
    ikinkesir04.png
    ikinkesir05.png
    ikinkesir06.png
    ikinkesir07.png
    ikinkesir08.png

    D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI
    Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;
    (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,
    x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.

    Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
    Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine
    ikinkesir09.png yazılarak bulunur.

    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,
    ikinkesir10.png

    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0
    denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
    ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
    (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.
    Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

    ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
    A. TANIM
    a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

    B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ
    BAĞINTILAR

    a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,
    ikinkesir11.png
    ikinkesir12.png
    ikinkesir13.png

    C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
    Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
    (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.
    Bu denklem düzenlenirse,
    x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur.

    Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.

    1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
    x1 + x3 = 2x2 dir.
    2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

    ikinkesir14.png
    3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
    x1 = x2 = x3 tür.
    Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
    anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0
    denkleminin;
    Kökleri toplamı : ikinkesir15.png
    Kökleri çarpımı : ikinkesir16.png
     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016