Kartezyen Çarpım ( Bağıntı )

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI

    A. SIRALI n Lİ
    n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
    (a, b) sıralı ikilisinde;
    a : Birinci bileşen,
    b : İkinci bileşendir.
    a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.
    (a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

    B. KARTEZYEN ÇARPIM
    A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
    A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
    A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.
    A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

    C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ
    I) s(A) = m ve s(B) = n ise
    s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
    II) A x (B x C) = (A x B) x C
    III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
    IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)
    V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
    VI) A x Æ = Æ x A = Æ
    VII) kartezkesir01.png

    D. BAĞINTI
    A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
    Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
    b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

    * s(A) = m ve s(B) = n ise,
    A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

    * A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

    * s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
    A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı
    kartezkesir02.png

    * b Ì A x B olmak üzere,
    b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi
    b-1 Ì B x A dır.
    Buna göre, b bağıntısının tersi
    b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

    E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
    b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

    1. Yansıma Özeliği
    A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.
    "x Î A için, (x, x) Î b Ş b yansıyandır.

    2. Simetri Özeliği
    b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.
    "(x, y) Î b için (y, x) Î b Ş b simetriktir.

    * b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.
    * s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı kartezkesir03.png dir.
    * s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n - n) dir.

    3. Ters Simetri Özeliği
    b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
    x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

    b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.
    4. Geçişme Özeliği
    b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
    kartezkesir04.png
    olmalı
    b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

    F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
    1. Denklik Bağıntısı
    b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
    b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.

    * b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.
    x º y biçiminde gösterilir.

    * b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
    kartezkesir05.png biçiminde gösterilir.
    Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
    kartezkesir05.png = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

    2. Sıralama Bağıntısı
    A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.
     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016