Özel Üçgenler Konu Anlatımı

Ömer

Yönetici
DİK ÜÇGEN
Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.
ozel-ucgenler-1.png

Yukarıdaki şekilde, m(A) = 90°
[BC] kenarı hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır.

PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
ozel-ucgenler-2.png

ABC üçgeninde m(A) = 90°
a²=b²+c²

ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 - 4 - 5) Üçgeni
ozel-ucgenler-3.png

Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

2. (5 - 12 - 13)
ozel-ucgenler-4.png

Üçgeni Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.
ozel-ucgenler-5.png

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.
ozel-ucgenler-6.png

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = a√2 m(A) = m(C) = 45°

İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların √2 katıdır.

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni
ozel-ucgenler-7.png

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH (30° - 60° - 90°) üçgenleri elde edilir.

|AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| =
ozel-ucgenler-8.png

pisagordan
ozel-ucgenler-9.png


ozel-ucgenler-10.png

(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar, 30° nin karşısındaki kenarın √3 katıdır.

5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni
ozel-ucgenler-11.png

(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar a√3 olur.

6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni
ozel-ucgenler-12.png

(15° - 75° - 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.

ÖKLİT BAĞINTILARI
ozel-ucgenler-13.png

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

1.) Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
h2 = p.k

2.) b2 = k.a
c2 = p.a


3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

a.h =b.c

Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak
ozel-ucgenler-14.png
elde edilir. Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

İKİZKENAR ÜÇGEN
ozel-ucgenler-15.png

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
ozel-ucgenler-16.png

|AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C)

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
ozel-ucgenler-17.png

|AB| = |AC|,
[AH] ┴ [BC]
m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
ozel-ucgenler-18.png

|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir.
ozel-ucgenler-19.png

Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.
ozel-ucgenler-20.png

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.
ozel-ucgenler-21.png

6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.
ozel-ucgenler-22.png


|AB| = |AC| → |LC| = |HP| + |KP|

8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.
ozel-ucgenler-23.png

ozel-ucgenler-24.png


EŞKENAR ÜÇGEN

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.
ozel-ucgenler-25.png

nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc
ozel-ucgenler-27.png

2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik
ozel-ucgenler-26.png


Bu durumda eşkenar üçgenin alanı
ozel-ucgenler-28.png
yükseklik cinsinden alan değeri
Alan(ABC) =
ozel-ucgenler-29.png


3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.
ozel-ucgenler-30.png

Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;
ozel-ucgenler-31.png


4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.
ozel-ucgenler-32.png

Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde
ozel-ucgenler-33.png
 
Son düzenleme:

Benzer Konular

Yanıtlar
5
Görüntülenme
50B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
11B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
7B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
3B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
10B
Üst