Asal Sayılar Sonsuzdur

Matematik bölümünde yer alan bu konu SaMeT46 tarafından paylaşıldı.

  1. SaMeT46

    SaMeT46 Moderatör

    Asal sayilar sonsuz tane, hem de her reel sayidan buyuk bir asal sayi var.
    Euclid, öklid, oklid terimlerini kullanarak aradim, sanirim asal sayilarin sonsuzlugunun ispatini daha once bu forumda vermemisiz. Euclid'in Isa'dan Once 300 yili civarlarinda yazdigi "Elements" adli kitabinda yer alan ispata degineyim.
    Celiski yontemiyle asal sayilarin sonsuzlugunu ispatlayacagiz, yani once tersini varsayacagiz, asal sayilar sonludur diyecegiz, sonra bir celiskiye ulasacagiz, boylece tersinin yanlis, kendisinin dogru oldugunu gosterecegiz.
    Diyelim ki sonlu sayida asal sayi var, sayisina n diyelim, bu n tane asal sayiyi buyukluk sirasina gore siralayalim, ve bunlari sirasiyla p1, p2, ..., pn diye adlandiralim, p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, p5=11,...
    simdi butun bu asal sayilari carpip, bu carpimi 1'le toplayalim, cikan sayiya k diyelim
    k = ( p1 * p2 * p3 * p4 * ... * pn ) +1
    k asal olamaz, cunku butun asallarimizdan buyuk, o yuzden 1 ve kendisi haric bir sayiya, dolayisiyla bir asala bolunmesi lazim. Ama elimizdeki tum asallar p1, p2, p3, ..., pn ve k bunlarin hicbirine bolunmuyor (kalan hep 1). celiski.
    dolayisiyla sonlu sayida asal sayi yok, yani sonsuz sonsuz sayida asal var.
    ispatimiz burda bitti
    Euler'in de bir ispati var, hatta o daha genel birseyi ispatlamis, asal sayilarin 1 bolu hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamin sonsuz oldugunu ispatlamis, yani 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... toplami sonsuz, 1/(asal sayi) toplami sonsuz.
    eger asal sayilar sonlu sayida olsaydi, sonlu tane sayinin toplami olarak bu toplam sonlu olacakti, ama degil, o yuzden asal sayilar sonsuz sayida.
    1/n^2'lerin (1/tamsayi kare) toplaminin sonlu bir sayiyi verdigini hatirlarsak bunun daha genel birsey oldugunu gorururuz.
    Simdi, asal sayilar sonsuz tane bazi dogal sayilar oldugu icin, kesinlikle her sayidan buyuk bir asal sayi var, cunku sabit bir reel sayidan kucuk dogal sayi sayisi, dolayisiyla sabit bir reel sayidan kucuk asal sayi sonlu tane olmak zorunda (0'in sonlu bir sayi oldugunu kabul ediyorum artik )