Permütasyon, Kombinasyon ve Binom Açılımı - Konu Anlatımı

Ömer

Yönetici

PERMÜTASYON



A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

1. Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun

s(A) = m
s(B) = n
s(A ᴖ B ) = ø

olmak üzere,

s(A ᴗ B ) = s(A) + s(B)

= m + n dir.

Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2. Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

. . .

(a1, a2, a3, ... , an) ifadesine sıralı n li denir.
A ve B sonlu iki küme olsun
s(A) = m
s(B) = n

olmak üzere,

s(A . B) = s(A) . s(B) = m . n dir.

A . B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

Sonuç

İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte

m . n

yolla yapılabilir.

B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24

Sonuç

n! = n . (n - 1)!
= n . (n - 1) . (n - 2)!

C. PERMÜTASYON (SIRALAMA) TANIMI

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

permutasyon-tanim.png


Sonuç

1. P(n, n) = n!
2. P(n, 1) = n
3. P(n, n – 1) = n! dir.

D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
tekrarli-permutasyon.png


E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
sayısı :
dairesel-permutasyon.png
(n > 2)

KOMBİNASYON



TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r ∈ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
kombinasyon-tanim.png


Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.

kombinasyon-tanim-1.png


• n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
kombinasyon-tanim-2.png


• Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı
kombinasyon-tanim-3.png


b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan
kombinasyon-tanim-4.png
tane üçgen çizilebilir.

• Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok
kombinasyon-tanim-3.png
farklı
noktada kesişirler.

• Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

kombinasyon-sekil.png


Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
kombinasyon-ornek-1.png
tane paralelkenar oluşur.

• Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok
kombinasyon-ornek-2.png
tane kesim
noktası vardır.

BİNOM AÇILIMI



A. TANIM

n doğal sayı olmak üzere,
binom-acilimi.png

ifadesine binom açılımı denir.

Burada;
binom-kat-sayi.png

sayılarına binomun kat sayıları denir.
binom-terim.png

ifadelerinin her birine terim denir.
bimon-carpan-1.png
ifadesinde
bimon-carpan-2.png
kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.

B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ

1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim :
bimon-terim-1.png

sondan (r + 1). terim :
bimon-terim-2.png

(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
• n pozitif doğal sayı olmak üzere,

(x + y)2n nin açılımında ortanca terim
bimon-terim-3.png


• n pozitif doğal sayı olmak üzere,
bimon-terim-4.png
açılımındaki sabit terim,
bimon-terim-5.png

ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.

• c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.

• (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
bimon-terim-6.png
 
Son düzenleme:

Benzer Konular

Yanıtlar
0
Görüntülenme
3B
LAL
Yanıtlar
0
Görüntülenme
6B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
4B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
7B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
7B
Üst