kamu yönetimi istatistik ders notları

iS T A T i S Ti K
D E R S N O T L A R I​
Đstatistik:​
Eldeki kıt bilgilerle incelenen olay hakkında doğru karar verebilme tekniklerini
kapsayan bir bilim dalıdır.

Veri:​
Kaydedilmis bilgiye denir.

Değisken:​
ヌesitli değerler alabilen zelliklere denir. Değiskenler sayısal ya da niteliksel
olabilir. Niteliksel değiskenler ise sayısal değer almazlar. Sz gelimi sa ve gz rengi birer
niteliksel değiskendir. Sayısal değiskenler ise sayısal değer alırlar. Đnsanların boyları, yasları,
ağırlıkları sayısal değiskendir. Değiskenler srekli ya da sreksiz olabilirler. Srekli
değiskenler belirli bir aralık olustururlar. ヌnk srekli değiskenler tam ve ondalık sayı
değerleri alırlar. ヨrneğin; insanların boyları, yasları, ağırlıkları srekli değiskendir. Bir
blgedeki araba sayısı sreksiz değiskendir. ヌnk bunlar tam sayı değerleri alırlar. Niteliksel
değiskenler sreksiz kabul edilir.

Yığın (ana ktle):​
ワzerinde inceleme yapılan tm birimlerin olusturduğu kmeye denir.

ヨrnek:​
Ana ktlenin ulasabildiği kesime rnek denir.

ヨrnekleme:​
ヨrnek seme islemine rnekleme denir. ヨrnekleme iradeli ve iradesiz ekimle
yapılır. ヨrnekleme iadesiz ekimle yapılıyorsa yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı yoktur. Đadeli rnekleme yapılıyorsa; yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı vardır. Đstatistikte ヨrnekleme yaparken her bir birimin rneğe girme sansının aynı
olmasına dikkat edilir. Bu nedenle istatistikte seilen rnekler birer sans rneğidir. Ayrıca
rneğe gre birimlerin birbirinden bağımsız olma durumu vardır, yani bir birimin rneğe
girmesini diğer bir birim etkilemez.

Đstatistik:​
ヨrnekten hesaplanan karakteristik değerlere istatistik denir, istatistikler
değiskendir, rnekten rneğe gre değisir. Đstatistikler ana ktle parametrelerinin birer nokta
tahminleyicisidir. Szn ettiğimiz istatistikler rnekten hesapladığımız: Aritmetik ortalama,
varyans, standart sapma ve orandır. Đstatistikleri asağıdaki sekilde ifade ederiz;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran

Parametre:​
Ana ktleye iliskin karakteristik değerlere parametre denir. Parametreler sabittir,
değismezler parametreler; aritmetik ortalama, varyans, standart sapma ve orandır. Bu
parametreleri asağıdaki sekilde gsterilir;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran

A. Frekans ve Sınıflandırılmıs Seriler
Frekans Seriler ve Grafikleri
ヨrnek:
x (Değisken) f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 1
5 1​
Verilen frekans serisinin grafiğini iziniz ?​
Not:​
Değisken değerleri yatay ( x ) frekanslar ise dsey ( y ) ekseni zerinde gsterilir.

Histogram​
Genlikle sınıflandırılmıs serilerde kullanılan bir grafik trdr. Frekans serileri de iinde
kullanılabilmektedir. Birbirine bitisik dikdrtgenlerden olusur. Bir sınıfa ait dikdrtgenin
alanı ile sınıfın frekansı esit hale gelir. Bunun iinde her bir sınıfın ayarlanmıs frekansları
bulunur, sınıfların ayarlanmıs frekansları bulunurken ilgili sınıfın frekansını sınıf alanına
bleriz. Bylece sınıfları yatay ayarlanmıs frekansları dsey eksende gstererek histogramı
izeriz.​
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8​
Verilen sınıflandırılmıs serinin histogramını iziniz ?​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 3
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Histogram
Frekans Poligonu​
Verilen sınıflandırılmıs serinin frekans poligonunu izerken nce histogramı izeriz. Sonra
birinci dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden birincisini orta noktası ile bu
dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestiririz. Daha sonra birinci dikdrtgenin st
taban orta noktası ile ikinci dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve bu sekilde
devam ederiz. En son dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden ikincisinin orta noktası
ile bu dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve yatay eksene doğru uzatırız. En
basta izdiğimiz izgiyi de yatay eksene doğru uzatır ve kapalı bir sekil elde ederiz, buna​
frekans poligonu​
denir. Frekans poligonun evrelediği alan ile histogramın evrelediği
blgenin alanı birbirine esit olur.

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8​
Verilen sınıflandırılmıs serinin frekans poligonunu iziniz ?​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 4
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Frekans Poligonu
Frekans Eğrisi:​
Sınıflandırılmıs serideki sınıf aralıkları ok kk olursa frekans poligonu
frekans eğrisine dnsr.

Đstatistikte Frekans Eğrileri
Ters J J Eğrisi
Simetri U Eğrisi​
Sola Eğik Eğri Sağa Eğik Eğri
Not:​
Sınıflandırılmıs serisine mutlak okluk blm de denir.

Oransal ヌokluk Blm​
Mutlak okluk blmn; herhangi bir sınıfın sınıf frekansını toplam sınıfa blersek elde
ettiğimiz ondalık sayıya ilgili sınıfın oransal frekansı denir. Bu sekilde elde edilmis sınıfsal
seriye de oransal okluk blm denir.​
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3​
Verilen mutlak okluk blmnde her bir sınıfın oransal frekansını bularak serinin okluk
blmne dnstrn ?​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1​
 0,05
4-8 2
 0,10
8-12 3
 0,15
12-16 5
 0,25
16-20 4
 0,20
20-24 2
 0,10
24-28 3
 0,10
Not:
Oransal frekans toplamı daima 1’e esittir.

Birikimli Seriler​
Bir seride her hangi bir değerin altında yada stnde ka tane veri değerinin bulunduğunun
bilinmesi birikimli serilerle sağlanır. Verilen bir mutlak okluk blmnde ……den az,
……den ok esasına gre birikimli frekanslarını bulursak szn ettiğimiz mutlak okluk​
blm birikimli okluk blmne dnsr. Đste bu tr sınıflandırılmıs serilere birikimli
seriler denir.​
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3​
Verilen mutlak okluk blnmn de her bir sınıfın ……den az, ……den ok esasına gre
birikimli frekanslarını bularak verilen mutlak okluk blnmn birikimli okluk blnm
sekline dnstrnz.​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20
Not:​
Sınıflandırılmıs serilerde herhangi bir sınıfın ……den aza gre birikimli frekansı bir
nceki sınıfın birikimli frekansı ile kendisinin sınıf frekansının toplamına esittir.

Not:​
En byk sınıfın ……den aza gre birikimli frekansı toplam frekansa esit olur.

Not:​
……den az serisinin eğrisi artan eğridir.

Not:​
……den azda noktalı yerlere sınıflatın st sınırları gelir.

Not:​
Yasları 20’den az ka kisi vardır denirse 20’nin bulunduğu (st sınır olarak) sınıfı
……den aza gre birikimli frekansı alırız.

Not:​
Sınıfların ……den oğa gre birikimli frekansı bulunurken sınıfların alt sınırları
getirilir.

Not:​
En kk sınıfın ……den ok esasına gre birikimli frekansı her zaman toplam
frekansa esittir.

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20​
Verilen sınıflandırılmıs serinin ……den az, ……den ok esasına gre birikimli seri grafiğini
iziniz.​
ヌzm:
Not:​
……den aza gre grafik izerken en kk sınıfın alt sınırı x’ dir ve “sıfır” olarak alınır
y’ si de “sıfır” olarak alınır. En kk sınıfın st sınırı x olarak alındığında ……den aza gre
birikimli frekansı y olarak alınır. Kısaca ……aza gre birikimli frekanslar sınıfların st
sınırlarına karsılık gelir. Halbuki ……den ok esasına gre grafik izerken en kk sınıfın
alt sınırı “x” olarak alınır. ……den oğa gre birikimli frekanslar sınıfların alt sınıflarına denk
getirilir.

Not:​
……den az eğrisi devamlı ykselis gsterir.
……den ok eğrisi devamlı azalıs gsterir.

Not:​
16’dan az ka kisi vardır denildiğinden 16 sayısını st sınırlar ierisinde arar buluruz,
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den aza gre birikimli frekansa bakarız.

Not:​
12’den ok ka kisi vardır denildiğinden 12 sayısının alt sınırlar ierisinde arar buluruz,
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den ok esasına birikimli frekansını belirleriz.
(Cevap:14 olarak bulunur)

Not:​
……den ok eğrisini izerken en byk sınıfın st sınırına “sıfır” karsılık gelir.

Merkezi Eğilim ヨlleri​
Bir serideki veri değerlerinin hangi nokta etrafında toplanma eğilimi gsterdiğinin bilinmesi
merkezi eğilim lleriyle sağlanır. Merkezi eğilim lleri duyarlı duyarsız olmak zere iki
sınıfta incelenir.​
A) Duyarlı Merkezi Eğilim ヨlleri
1) Aritmetik Ortalama
a) Basit Serilerde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ x
X =
n
ヨrnek:
X
3
7
12
17
21​
n = 5
Verilen basit serinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?​
ヌzm:​
3 + 7 + 12 + 17 + 21 60
X = = = 12
5 5​
b) Frekans Serilerinde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ f . x
X =
Σ f
ヨrnek:
Seriler X f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 3
5 3
n= 10​
Verilen frekans serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?​
ヌzm:
Seriler X f ( Frekans) f . x
1 1 1
2 1 2
3 2 6
4 3 12
5 3 15
n= 10 Σ f.x = 36
36
X = = 3,6
10
Aıklama:​
Aritmetik ortalamayı bulurken değisken olan “x” değerleriyle frekansları ayrı ayrı
arpılıp toplanır, bulanan toplam değer, toplam frekansa blnr bylece frekans serilerinin
ortalaması bulunur.

c) Sınıflandırılırmıs Serilerde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ f .​
x i

X =
Σ f
ヨrnek:
X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 1
8-12 2
12-16 2
16-20 1
20-24 2
24-28 1​
Verilen sınıflandırılmıs serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?​
ヌzm:
X f ( Frekans) X f . x
0-4 1 2 2
4-8 1 6 6
8-12 2 10 20
12-16 2 14 28
16-20 1 18 18
20-24 2 22 44
24-28 1 26 26
n = 10 144​
144
X = = 14,4
10
Aıklama:​
Sınıflandırılmıs serilerde aritmetik ortalamayı bulurken nce her bir sınıfın sınıf
orta değerini ayrı ayrı buluruz daha sonra sınıf orta değeriyle frekanslarını karsılıklı olarak
arpıp toplarız, bulduğumuz toplam değeri toplam frekansa bleriz. Bylece sınıflandırılmıs
serinin aritmetik ortalamasını buluruz.

d) Tartılı Aritmetik Ortalama​
Serideki veri değerlerinin nem dereceleri arasında fark varsa aritmetik ortalamayı
hesaplarken bu farklar dikkate alınıyorsa burada tartılı aritmetik ortalama vardır.
Tartılı aritmetik ortalama hesaplarken değisken değerle tartılar karsılıklı olarak arpılır;
bulanan toplam, toplam tartıya blnr.​
ヨrnek:​
Bir ğrencinin asağıdaki derslerden on zerinden aldıkları notlar ile derslerin haftalık ders
saatleri asağıya ıkarılmıstır:​
Dersler Notlar Haftalık Ders Saatleri ( Kredi Saati ) f
Đstatistik 8 3
Đktisat 6 4
Đngilizce 7 2​
Bu verilere gre bu ğrencinin bu derslerde ki not ortalaması nedir ?​
ヌzm:
x f x . f
8 3 24
6 4 24
7 2 14
Toplam: 9 Toplam: 62
62
X = = 6,8888
9
ヨrnek:​
Bir ğrencinin istatistik dersinden 100 zerinden aldığı notlar: Birinci ara sınavdan 70 ; ikinci
ara sınavdan 80 ; finalden ise 90 almıstır. Birinci ara sınav ğrencinin basarı notunu % 15 ;
ikinci ara sınav % 25 final notu ise basarı notunu % 60 etkilemistir. Bu ğrencinin basarı
notunu hesaplayınız.​
ヌzm:
Sınavlar Notlar
1. Ara Sınav 70
2. Ara Sınav 80
Final Sınavı 90​
( 70 % 15 ) + ( 80 % 25 ) + ( 90 % 60 ) =​
84,5
10,5 20 54
Aritmetik Ortalamanın ヨzellikleri
1)
Aritmetik ortalama serideki veri değerlerine yakın bir değer ise bu durumda
aritmetik ortalama seriyi iyi temsil ediyor denir. Aritmetik ortalama veri
değerlerinden uzaklastıka seriyi temsil gc azalır. Aritmetik ortalama asırı
değerlerden etkilenir.

2)​
Serideki veri değerlerinden aritmetik ortalamayı ayrı ayrı ıkarırsak
bulduğumuz farklara serideki veri değerlerinin sapmaları denir. Serideki veri
değerlerinin sapmalarının cebirsel (artılı / eksili) toplamı daima “sıfır” olur.

ヨrnek:​
x x - x​
3 3 – 10 = -7
7 7 – 10 = -3
10 10 – 10 = 0
11 11 – 10 = 1
19 19 – 10 = 9
0
3+7+10+11+19
X = = 10
5
3)​
Serideki veri değerleriyle aritmetik ortalamalarının kareleri toplamı en kk
olur, yani minimum olur.

4)​
Serideki her bir veri değerinin sıfırdan farklı aynı bir sayıyla arpılınca elde
edilen yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması aynı
dediğimiz sayıyla arpımına esittir. Sz gelimi bir serinin tm veri değerlerini
ayrı ayrı drtle ( 4 ) arptığımızda elde ettiğimiz bu yeni serinin aritmetik
ortalaması ilk serinin aritmetik ortalamasının drt katı olur.

5)​
Serideki veri değerlerine aynı sayıyı eklersek elde ettiğimiz yeni serinin
aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması ile aynı sayının toplamına
esittir.

2) Geometrik Ortalama
Forml:​
G =​
X1. X2 ………… Xn forml ile hesaplanır.

a) Basit Serilerde Geometrik Ortalama
ヨrnek:​
x​
2
4
8​
Serisinin geometrik ortalamasını bulunuz ?​
ヌzm:​
G =​
32.4.8 = 364 = 343 = 4

b) Frekans Serilerinde Geometrik Ortalama
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Geometrik Ortalama
3) Harmonik Ortalama
a) Basit Serilerde Harmonik Ortalama
b) Frekans Serilerinde Ve Sınıflandırılmıs Serilerde Harmonik Ortalama
4) Kareli Ortalama
a) Basit Serilerde Kareli Ortalama
b) Frekans Serilerinde Kareli Ortalama
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Kareli Ortalama
B) Duyarlı Olmayan Merkezi Eğilim ヨlleri
1) Ortanca ( Medyan )​
Seriyi bastan % 50 sondan % 50 olmak zere iki esit kısma ayıran değere ortanca yani
medyan denir.
Verilen bir serinin meydanının bulurken serideki veri değerlerinin kkten byğe doğru
sıralanmıs olması gerekir. Veri değerleri kkten byğe doğru sıralandıktan sonra veri
sayısı n olmak zere bastan​
n + 1 veri değeri medyan olarak alınır.

2​
Basit serilerde yada frekans serilerinde veri sayısının tek yada ift olması nemlidir
Sınıflandırılmıs serilerde veri sayısının tek yada ift olması nemli değildir. Sınıflandırılmıs
serilerde bastan​
n veri değeri medyan olarak alınır.

2​
Basit serilerde ve frekans serilerinde veri sayısı tek ise tam ortada bir terim bulunur. Bu terim
medyan olarak alınır. Bu durumda medyan seriye aittir. Basit serilerde ve frekans serilerinde
veri sayısı ift ise tam ortada iki terim bulunur, tam ortada buluna bu iki terimin toplamlarının
yarısı yani aritmetik ortalaması bize medyanı verir. Bu durumda medyan diziye ait bir veri
değeri değildir.​
Kartil​
Seriyi drt esit paraya ayıran değerlere “kartil” denir. Bunlar tanedir;
1. Kartil​
Q1

2. Kartil​
Q2

3. Kartil​
Q3 ile gsterilir
2. kartil olan Q
2 tam ortada bulunduğu iin serinin medyanı olur. Bu nedenle medyana aynı
zamanda 2. kartil denir.
1. kartil seriyi bastan % 25, sondan % 75 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. kartil seriyi bastan % 50, sondan % 50 oranında iki kısma ayıran değerdir.
3. kartil seriyi bastan % 75, sondan % 25 oranında iki kısma ayıran değerdir.

Desil​
Seriyi on esit paraya ayıran değerlere “desil” denir. Bunlar 9 tanedir.
Besinci desil olan d​
5 tam ortada bulunduğu iin aynı zamanda ortancadır (medyan).
1. desil seriyi bastan % 10, sondan %90 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. desil seriyi bastan % 20, sondan %80 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
desillerde tanımlanır.

Santil​
Seriyi yz esit paraya ayıran değerlere “santil” denir. Bunlar 99 tanedir.
ellinci santil olan C​
50 tam ortada bulunduğu iin aynı zamanda ortancadır (medyan).
1. santil seriyi bastan % 1, sondan %99 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. santil seriyi bastan % 2, sondan %98 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
santillerde tanımlanır.

Kantil​
Burada szn ettiğimiz kartil, desil ve santil kavramlarının hepsine birden “kantil” denir.​
a) Basit Serilerde Medyan
ヨrnek:​
x​
2
5
3
9
14
19
12​
Serisinin medyanı nedir ?​
ヌzm:​
x​
2
3
5​
9​
12
14
19​
n = veri değeri
n = 7 veri sayısı tek, serinin bastan​
n + 1 7 + 1 = 4. veri değeri, yani medyan = 9’dur.

2 2
ヨrnek:​
X​
2
5
3
9
14
19
12
15​
Serisinin medyanı nedir ?​
ヌzm:​
X​
2
5
3​
9
12​
14
15
19​
n = 8
veri sayısı ift serinin bastan​
n + 1 7 + 1 = 4,5. veri değeri medyan = 9 + 12 = 10,5’dur

2 2 2
Not:​
Veri sayısı ift olduğunda medyanın bastan kaınıcı veri değeri olduğunu gsteren sayı
daima ondalık sayı ıkar ve ondalık kısmı 5 olur. Bizim rnekte veri sayısı 8 yani ift olduğu
iin serinin bastan 4,5. veri değeri medyan olarak bulunmustur. Bu da drdnc ile besinci

veri değerlerinin toplamının yarısı olacak demektir. Eğer değer 7,5 olsaydı yedinci ve
sekizinci veri değerlerinin toplamının yarısını alacaktık.​
b) Frekans Serilerinde Medyan​
Frekans serilerinde de basit derilerde olduğu gibi veri sayısının yani toplam frekansın tek
yada ift olması nemlidir.​
ヨrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20​
Frekans serisinin medyanı nedir ?​
Not:​
Kartil hesabı yapılırken basit seriler hari frekans ve sınıflandırılmıs serilerde ……den
az hesabına gre birikimli frekanslar bulunur.

ヌzm:
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8​
5​
2 10
6
2 12

7 2 14
8 3 17
9 2 19
10 1 20
Toplam = 20​
veri sayısı ift serinin bastan​
n + 1 20 + 1 = 10,5. veri değeri(10,5 denilince 10 ve 11
alınır.)
2 2

medyan =​
5 + 6 = 5,5’dur

2​
Not:​
Frekans serisinde 3’n (X not) ……den aza gre birikimli frekansı 5’tir yleyse serinin
bastan an son 5. veri değeri 3 demektir

Not:​
Seride medyanın bastan 9,5. veri değeri olduğu karsımıza ıksaydı bu defa serinin bastan
9. ve 10. veri değerlerini toplayıp ikiye blerdik. ヨrneğimizde bastan 9. ve 10. veri değerleri
bir baska deyisle bastan 9. ve 10. ğrencilerin aldığı notlar 5 — 5 olacaktı, bu durumda
medyan ( 5 + 5 ) / 2 = 5 olur.

ヨrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20​
Frekans serisinin medyanı nedir ?​
ヌzm:
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8
5 2 10​
6​
2 12

7 2 14
8 3 17
9 2 19
10 2 20
Toplam = 21​
veri sayısı tek serinin bastan​
n + 1 21 + 1 = 11. veri değeri medyan = 6

2 2
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Medyan​
Sınıflandırılmıs serilerde toplam frekansın yani veri sayısının tek yada ift olması nemli
değildir.
Σf = n olsun​
Bu durumda bastan​
n . veri değeri medyan olur.

2​
Sınıflandırılmıs serilerde bastan​
n . veri değerinin bulunduğu sınıf medyan sınıfıdır.

2​
Sınıflandırılmıs serilerde medyan asağıdaki formlle hesaplanır;​
Forml:
N c
Medyan = L + d •
2 f​
L​
Medyan sınıfı alt sınırı.

N​
Toplam frekans.

d​
Medyan sınıfından bir nceki sınıfın ……den az esasına gre birikimli frekansı.

c​
Medyan sınıfının sınıf aralığı.

f​
Medyan sınıfının sınıf frekansı.
ヨrnek:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 3
24-28 2
28-32 2
32-36 3
Toplam(n) = 10

Verilen serinin medyan sınıfı ve medyan frekansını bulunuz ?​
ヌzm:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans) ……den az
0-4 1 1
4-8 2 3
8-12 2 5
12-16 3 8​
16-20​
2 10

20-24 3 13
24-28 2 15
28-32 2 17
32-36 3 20
Toplam(n) = 20​
Medyan sınıfı​
Serinin bastan;​
n = 20 = 10. veri değeri medyan olur.

2 2
Not:​
Medyan değerinin bulunduğu sınıf ise medyan sınıfı olarak alınır.

L = 16
N = 20
d = 8
c = 4
f = 2​
N c
Medyan = L + d •
2 f
20 4
Medyan = 16 + 8 • = 16 + ( 10 – 8 ) . 2 = 16 + 4 = 20
2 2​
Mod​
Mod terimi moda kelimesinden gelmektedir. Szgelimi bir firmanın rettiği rn
esitlerinden hangisine talep fazla ise en fazla talep olan rn esidi mod olur. Bu nedenle
mod firmaların ileriye dnk retim planlaması yapmalarına yardımcı olur.​
a) Basit Serilerde Mod​
Basit serilerde en fazla tekrar eden veri değeri mod olur.​
ヨrnek:
X
2
3
3
3
5
5
7
9​
Verilen serinin modu nedir ?​
ヌzm:
X
2​
3
3
3​
5
5
7
9​
Verilen serinin modu 3’tr.​
b) Frekans Serilerinde Mod​
Frekans serilerinde frekansı en yksek olan veri değeri mod olur.​
ヨrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 4
8 2
9 2
10 2​
Verilen frekans sersinin modu nedir ?​
ヌzm:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1​
7 4​
8 2
9 2
10 2​
Verilen serinin modu 7’dir​
Not:​
Frekans serilerinde frekans mod olmaz. Mod frekansı en yksek olan veri değeri dir.

c) Sınıflandırılmıs Serilerde Mod​
Frekansı en yksek olan sınıf mod sınıfı olur mod bu sınıfta yer alır. Mod sınıfının sınıf orta
değerinin yaklasık olarak mod değeri almamız mmkndr.​
ヨrnek:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 4
12-16 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2​
Verilen sınıflandırılmıs serinin modu nedir ?​
ヌzm:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2​
8-12 4​
12-16 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2​
Mod =​
8 + 12 = 10’dur

2​
Mod = 10​
Not:​
Sınıflandırılmıs serilerde histogram izerek te mod bulabiliriz.

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 4
4-8 8
8-12 16
12-16 12
16-20 24
20-24 16
24-28 8
28-32 12
32-36 4​
Verilen serinin histogramını izerek modunun bulunuz ?​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
0-4 4 4 4:4 = 1
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 16 4 16:4 = 4
12-16 12 4 12:4 = 3
16-20 24 4 24:4 = 6
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 8 4 8:4 = 2
28-32 12 4 12:4 = 3
32-36 4 4 4:4 = 1
Histogram
Dağılma ヨlleri​
Bir seride veri değerlerinin merkez nokta etrafında hangi lde dağıldığının bilinmesi
dağılma lleriyle sağlanır. Dağılma lleri iki grupta incelenir;
1) Mutlak Dağılma ヨlleri
2) Mutla Olmayan ( oransal ) Dağılma ヨlleri
A- Mutlak Dağılma ヨlleri​
a) Değisim Aralığı​
Serideki en byk veri değeri ile en kk veri değeri arasındaki farka değisim aralığı denir.​
Forml:​
D.A = X​
maks - Xmin

1) Basit Serilerde Değisim Aralığı
ヨrnek:
X​
2​
5
11
21
27​
37​
Verilen serinin değisim aralığı nedir ?​
ヌzm:​
D.A = 37 – 2 = 35’dir.​
2) Frekans Serilerinde Değisim Aralığı
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 1
2 2
3 1
4 2
5 1
6 2
7 1
8 2
9 1
10 2​
Verilen frekans serisinin değisim aralığı nedir ?​
ヌzm:​
D.A = 10 – 1 = 9’dur.​
3) Sınıflandırılmıs Serilerde Değisim Aralığı​
En byk sınıfın st sınırı ile en kk sınıfın alt sınırı arasındaki fark değisim aralığı olur.​
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 2
32-36 1
36-40 2​
Verilen sınıflandırılmıs serinin değisim aralığı nedir ?​
ヌzm:​
D.A = 40 – 4 = 36’dır.​
b) Ortalama Sapma
1) Basit Serilerde Ortalama Sapma
Forml:​
Σ │X- X│
O.S =
n​
ヨrnek:
X
3
7
12
18
20​
Verilen serinin ortalama sapmasını bulunuz ?​
ヌzm:​
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.​
X X – X │ X – X │
3 3 – 12 = -9 9
7 7 – 12 = -5 5
12 12 – 12 = 0 0
18 18 – 12 = 6 6
20 20 – 12 = 8 8
Toplam = 28​
3 + 7 + 12 + 18 + 20
X = = 12
5
28
O.S = = 5,6
5 (n: satır sayısı)​
2) Frekans Serilerinde Ortalama Sapma
Forml:​
Σ f .│X- X│
O.S =
Σ f Veri sayısı.​
ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 3
2 2
3 1
4 1
5 2
6 3
7 2
8 2
9 2
10 2​
Verilen frekans serisinin ortalama sapmasını bulunuz ?​
ヌzm:​
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.​
Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X │ X – X │ f.│ X – X │
1 3 3 1 – 6 = -5 5 15
2 2 4 2 – 6 = -4 4 8
3 1 3 3 – 6 = -3 3 3
4 1 4 4 – 6 = -2 2 2
5 2 10 5 – 6 = -1 1 2
6 3 18 6 – 6 = 0 0 0
7 2 14 7 – 6 = 1 1 2
8 2 16 8 – 6 = 2 2 4
9 2 18 9 – 6 = 3 3 6
10 2 20 10 – 6 = 4 4 8
N= 20 Topl =110 Toplam = 50​
Σ f . x
X =
Σ f
110
X = = 5,5 yaklasık olarak “6” alırız
20
50
O.S = = 2,5
20​
3) Sınıflandırılmıs Serilerde Ortalama Sapma
Forml:​
Σ f .│ X​
i- X│
O.S =
Σ f

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 2​
Verilen sınıflandırılmıs serinin ortalama sapmasını bulunuz ?​
ヌzm:​
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.​
Sınıflar X f ( Frekans) X​
i f. Xi Xi – X │ Xi – X │ f.│Xi – X │
0-4 1 2 2 -11 11 11
4-8 2 6 12 -7 7 14
8-12 2 10 20 -3 3 6
12-16 1 14 14 1 1 1
16-20 2 18 36 5 5 10
20-24 2 22 44 9 9 18
N = 10 T =128 Topl = 60

X​
i = Sınıf Orta Noktaları
128
X = = 12,8 yaklasık olarak “13” alırız
10
Σ f .│ X
i- X│
O.S =
Σ f
60
O.S = = 6
10

Not:​
Sınıflandırılmıs serilerde değisken değerleri sınıf orta noktaları olur.

c) ヌeyrek Sapma ( Yarı Kartil Aralığı )
Forml:​
Q​
3 – Q1

Y.K.A = forml ile bulunur
2​
1) Sınıflandırılmıs Serilerde ヌeyrek Sapma
ヨrnek:
X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 2
24-28 3
28-32 2
32-36 1
N = 16
ヌzm:
X f ( Frekans) ……den az
4-8 1 1
8-12 2 3
12-16 3 6
16-20 2 8
20-24 2 10
24-28 3 13
28-32 2 15
32-36 1 16
N = 16​
N c
Q​
1 =L1 + d •
4 f
bastan N . 16 = 4. veri değeri, Q
1’dir ( 1. kartil)
4 4
16 4
Q
1 = 12 + 3 • =
4 3
4
Q
1 = 12 + = 13,3 ( 1. Kartil )
3
bastan 3N . 3 . 16 = 12. veri değeri, Q
3’dr ( 3. kartil)
4 4
3N c
Q
3 =L3 + d •
4 f
3 .16 4
Q
3 =24 + 10 •
4 3
Q
3 = 24 + {12 – 10 } 4/3
Q
3 = 24 + 8/3 = 26,67 (3. Kartil )
Q
3 – Q1

ヌeyrek Sapma =
2
26,67 – 13,3
ヌeyrek Sapma = = 6,685
2​
Not:​
Q3 – Q1 kartil aralığıdır Q3 – Q1 ‘de yarı kartil aralığıdır.
2

d) Varyans ve Standart Sapma​
Serideki veri değerlerinin aritmetik ortalamadan uzaklıklarının lsne standart sapma denir.
Standart sapmanın karesine ise varyans denir.​
Forml:​
Σ │ X - X│​
2

S​
2 = ile hesaplanır.
n
Varyansın pozitif karekk alınarak standart sapma bulunur.

Not:​
Basit seride varyans hesaplanırken nce serinin aritmetik ortalaması bulunur, daha sonra
seride ki veri değerleri yani değisken değerlerinden aritmetik ortalama ayrı ayrı ıkarılarak
yazılır. Yeni sapmalar bulunur, bulduğumuz sapmaların ayrı ayrı karekkn alırız, bu
aldığımız kare değerlerini toplarız sonra bulduğumuz toplam değeri veri sayısına bleriz
bylece varyansı bulmus oluruz. Varyansın pozitif karekkn alarak standart sapmayı
buluruz.

1) Basit Serilerde Varyans ve Standart Sapma
ヨrnek:
X
3
7
12
16
22​
Verilen serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?​
ヌzm:​
3 + 7 + 12 + 16 +22
X = = 10
6​
X X – X ( X – X )​
2

3 3 – 10 = -7 49
7 7 – 10 = -3 9
12 12 – 10 = -2 4
16 16 – 10 = 6 36
22 22 – 10 = 10 100
158​
158
S​
2 = = 31,6
5
Varyans S =
31,6 = 6,033

2) Frekans Serilerinde Varyans ve Standart Sapma
Forml:​
Σ f .│ X - X│​
2

S​
2 = ile hesaplanır.
Σ f

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 2
2 3
3 2
4 1
5 2
N= 10​
Verilen frekans serisinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?​
ヌzm:
Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X ( X – X )​
2 f. (X – X ) 2

1 2 2 1 – 3 = -2 4 8
2 3 6 2 – 3 = -1 1 3
3 2 6 3 – 3 = 0 0 0
4 1 4 4 – 3 = 1 1 1
5 2 10 5 – 3 = 2 4 8
N= 10 Topl =28 Toplam = 20​
28
X = = 2,8 yaklasıl olarak “3” alırız.
10
20
S​
2 = = 2
10
Standart Sapma =
2 = 1,4

3) Sınıflandırılmıs Serilerde Varyans ve Standart Sapma​
Forml:​
Σ f .│ X​
i - X│2

S​
2 = ile hesaplanır.
Σ f

ヨrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 2
4-8 2
8-12 2
12-16 2
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 3
32-36 2
36-40 2
N = 20​
Verilen sınıflandırılmıs serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz?​
ヌzm:​
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.​
Sınıflar X f ( Frekans) X​
i f. Xi Xi – X ( Xi – X ) 2 f. (Xi – X ) 2

0-4 2 2 4 -18 324 648
4-8 2 6 12 -14 196 292
8-12 2 10 20 -10 100 200
12-16 2 14 28 -6 36 72
16-20 2 18 36 -2 4 8
20-24 1 22 22 2 4 4
24-28 2 26 52 6 36 72
28-32 3 30 90 8 64 300
32-36 2 34 68 14 196 392
36-40 2 38 76 18 324 648
N = 20 T =408 Topl = 2736​
408
X = = 20,4 yaklasıl olarak “20” alırız.
20
2736
S​
2 = = 136,8 Varyans
20
Standart Sapma =
136,8 = 16,69


Oransal Dağılma ヨls
1) Değisim Katsayısı​
Değisim katsayısı oransal bir dağılma lsdr, bir baska deyimle mutlak olmayan bir
dağılma lsdr. Değisim katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamasının bir yzdesi
olarak ifadesidir, bir baska deyimle standart sapma aritmetik ortalamanın %’de kaıdır
sorusuna yanıt aradığımızda yapacağımız islem bize değisim katsayısını verir.​
Forml:​
S
Değisim Katsayısı​
= .100 ile bulunur
X
Değisken katsayısı aritmetik ortalamanın bir yzdesi olarak ifade edilir. Değisim katsayısı tek
basına bir anlam ifade etmez. Bir seride standart sapma ne kadar kk ıkarsa serideki veri
değerleri aritmetik ortalama etrafında o kadar sıka dağılıyor demektir. Bir baska deyimle
standart sapma kldke veri değerlerinin aritmetik ortalama etrafında daha sıka
dağılmaları sz konusudur. Standart sapma byk olursa veri değerleri aritmetik ortalamadan
uzaklasıyor demektir. Değisim katsayısı iki serinin trdeslik aısından karsılastırılmasında
kullanılır. Biraz nce sylediğimiz gibi benzer sekilde hangi serinin değisim katsayısı kk
ıkarsa kk ıkan seri değerine nazaran daha trdestir denir. Bir baska deyimle değisim
katsayısı kk ıkan seride veri değerleri aritmetik ortalama etrafında diğer seriye gre daha
sıka dağılıyor demektir.

Not:​
Hangisi kk ıkarsa o trdes olur.

ヨrnek:​
Bir fabrikada alısanların ağırlıklarının ortalaması 60 standart sapması ise 8’dir, bu fabrikada
alısanların yaslarının ortalaması 32 standart sapması ise 4’dr. Bu iki dağılımdan hangisi
diğerine gre daha trdestir. Değisim katsayılarını bularak belirleyiniz?​
ヌzm:​
8
Değisim Katsayısı​
A = . 100
60
(D.K)
A = % 13,3
4
Değisim Katsayısı
Y = . 100
32
(D.K)
Y = % 12,5
12,5<13,3 olduğundan yaslara iliskin dağılım, ağırlıklara iliskin dağılıma nazaran daha
trdestir. Bir baska deyimle yaslara iliskin dağılımdaki veri değerleri ağırlıklara iliskin

dağılımdaki veri değerlerine nazaran aritmetik ortalama etrafında daha sıka dağılmaktadır.
 

Benzer Konular

Yanıtlar
0
Görüntülenme
4B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
4B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
6B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
4B
Yanıtlar
0
Görüntülenme
4B
Üst