Conway dizisi ok gösterimi, çok büyük sayıları ifade etmek için matematikçi John Horton Conway tarafından oluşturuldu. Pozitif tam sayılar serisini basitçe sağa doğru oklarla ayırarak gösterir. Örneğin, 2→3→4→5→6.
Çok kombinatorik sembolojiler ile tanımı özyinelemedir. Bundan dolayıdır ki gösterim, sayının bazı tamsayı kuvvetini yükselterek çözmektir.
Tanım ve önizleme
Conway dizisi (veya kısa dizi) şöyle tanımlanır:
Eğer p ve q pozitif tam sayı ve X bir alt dizi ise:
4a.
4b.
Özellikler
Bir ok dizisini bir bütün olarak işlemekte dikkatli olunmalıdır. Ok dizileri, ikili işleçlerin (operatörlerin) tekrarlı uygulamasını açıklamaz. İçteki diğer sembol dizileri (örn, 3+4+5+6+7), çoğunlukla parçalarla (örn, (3+4)+5+(6+7)) ele alınır ve anlamda bir değişiklik olmaz (birleşmeye bakınız) veya en azından öngörülen sıraya göre adım adım işlem yapılabilir. Örn,
sağdan sola doğru. Örneğin:
Örnekler
Örnekler oldukça karışıktır. Burada birkaçına yer vereceğiz:
n
= n (1.kurala göre)
p→q
= pq (2.kurala göre)
Burada 3→4 = 34 = 81
1→(her oklu ifade)
= 1 tam ifade sonuçta 1sayı = 1 olarak azaldığında.
4→3→2
= 4→(4→(4)→1)→1 (4.kurala göre) ve sonra iç parantezlerden dışa doğru,
= 4→(4→4→1)→1 (gereksiz parantezler kaldırıldı)
= 4→(4→4)→1 (3'e göre)
= 4→(256)→1 (2'ye göre)
= 4→256→1
= 4→256 (3'e göre)
= 4256 (2'ye göre)
= 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10154
Knuth oklarıyla:
2→2→4
= 2→(2)→3 (4'e göre)
= 2→2→3
= 2→2→2 (4'e göre)
= 2→2→1 (4'e göre)
= 2→2 (3'e göre)
= 4 (2) (4 için her dizi 2 tane 2 ile başlar)
2→4→3
= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (4.'e göre) Dört tane X (ki buradakisi 2 dir), üç tane q (buradakisi yine 2'dir) ile karışmasını engellemek için koyu yazıldı
= 2→(2→(2→2→2)→2)→2
= 2→(2→(4)→2)→2 (önceki örnekteki gibi)
= 2→(2→4→2)→2
= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4.kurala göre)
= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2
= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (yine 3'e göre)
= 2→(2→(2→(4)))→2 (2'ye göre)
= 2→(2→(16))→2 (2'ye göre)
= 2→65536→2
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4'e göre) 65535 parantezli
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (yine 3'e göre)
= 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (2'ye göre)
= 2→(2→(2→(...16...)))) (2'ye göre)
=
(216 kule = 65536 kat) = 655362 (Tetrasyona bakınız)
Knuth okları ile:
2→3→2→2
= 2→3→(2→3)→1 (4'e göre)
= 2→3→8 (2 ve 3) Knuth okları ile: 2 ↑8 3 (özellik1)
= 2→(2→2→7)→7 (1)
= 2→4→7 (iki tane başlangıç 2'si 4 eder [özellik6]) Knuth okları ile: 2 ↑7 4 (özellik1)
= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)
= 2→(2→4→6)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4)
= 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4)
= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4)
= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (önceki örnekten)
= önceki sayıdan çok büyüktür
Knuth okları ile:
3→2→2→2
= 3→2→(3→2)→1 (4)
= 3→2→9 (2 ve 3)
= 3→3→8 (4)
Knuth okları ile:
.
Sistematik örnekler
Dört terimlilerin en basit durumları (2'den küçük tam sayı içermez):
ise, buradan
elde ederiz (fonksiyonel kuvvetlere bakınız]]).
Bunu
'ye uygularsak
ve
olur.
Buradan örneğin,
elde edilir.
Devam edersek:
yazarsak
elde ederiz. Buradan
olur. Yukarıdaki durumda,
ve
olur. Buradan da
elde edilir.
Ackermann işlevi
Ackermann işlevi, Conway dizisi ok gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:
m>2 için, A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3
olduğundan dolayı,
n>2 için, 2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 olur.
(n=1 ve n=2, sırasıyla A(m,-2)=-1 ve A(m,-1)=1'i karşılayabilir. Bu mantıksal olarak eklenebilir).
Graham sayısı
Graham sayısı
, kendini Conyaw dizisi ok gösteriminde özlü olarak ifade edemez. Fakat
ortanca fonksiyonunu tanımlayarak;
(fonksiyonel kuvvetebakınız) ve
'yi elde ederiz.
İspat: Sırasıyla kural 3 ve kural 4'deki açıklamaları uygularsak şunları elde ederiz:
(64 tane
)
(64 tane
)
(64 tane
)
(65 tane
)
(yukarıdaki gibi hesaplanır).
f hızlı olarak artarken,
'de sapma meydana gelir.
Çok büyük sayıyı dizi okları ile ifade etmek oldukça kolaydır. Örneğin,
sayısı Graham sayısından çok büyüktür.
Çok kombinatorik sembolojiler ile tanımı özyinelemedir. Bundan dolayıdır ki gösterim, sayının bazı tamsayı kuvvetini yükselterek çözmektir.
Tanım ve önizleme
Conway dizisi (veya kısa dizi) şöyle tanımlanır:
- Her pozitif tamsayı uzunluğu 1 olan dizidir.
- n uzunluğundaki bir dizi, sağ oktan sonra pozitif tam sayı gelir ve bu dizi formunun uzunluğu
Eğer p ve q pozitif tam sayı ve X bir alt dizi ise:
-
-
-
-
(q > 0 için, p tane X, p - 1 tane q ve p - 1 tane çift parantez uygulanır).
4a.
4b.
Özellikler
- Uzunluğu 3 olan bir dizi Knuth yukarı ok gösterimini ve hiperişlemleri ifade eder:
- X→p formunun X→Y dizisinden dolayı:
- a ile başlayan bir dizi, a nın bir kuvvetidir
- 1→Y dizisi 1'e eşittir
- X→1→Y dizisi X'e eşittir
- 2→2→Y dizisi 4'e eşittir
- X→2→2 dizisi X→(X)'e eşittir (X dizisinın değeri ona bağlandı)
Bir ok dizisini bir bütün olarak işlemekte dikkatli olunmalıdır. Ok dizileri, ikili işleçlerin (operatörlerin) tekrarlı uygulamasını açıklamaz. İçteki diğer sembol dizileri (örn, 3+4+5+6+7), çoğunlukla parçalarla (örn, (3+4)+5+(6+7)) ele alınır ve anlamda bir değişiklik olmaz (birleşmeye bakınız) veya en azından öngörülen sıraya göre adım adım işlem yapılabilir. Örn,
Örnekler
Örnekler oldukça karışıktır. Burada birkaçına yer vereceğiz:
n
= n (1.kurala göre)
p→q
= pq (2.kurala göre)
Burada 3→4 = 34 = 81
1→(her oklu ifade)
= 1 tam ifade sonuçta 1sayı = 1 olarak azaldığında.
4→3→2
= 4→(4→(4)→1)→1 (4.kurala göre) ve sonra iç parantezlerden dışa doğru,
= 4→(4→4→1)→1 (gereksiz parantezler kaldırıldı)
= 4→(4→4)→1 (3'e göre)
= 4→(256)→1 (2'ye göre)
= 4→256→1
= 4→256 (3'e göre)
= 4256 (2'ye göre)
= 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10154
Knuth oklarıyla:
2→2→4
= 2→(2)→3 (4'e göre)
= 2→2→3
= 2→2→2 (4'e göre)
= 2→2→1 (4'e göre)
= 2→2 (3'e göre)
= 4 (2) (4 için her dizi 2 tane 2 ile başlar)
2→4→3
= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (4.'e göre) Dört tane X (ki buradakisi 2 dir), üç tane q (buradakisi yine 2'dir) ile karışmasını engellemek için koyu yazıldı
= 2→(2→(2→2→2)→2)→2
= 2→(2→(4)→2)→2 (önceki örnekteki gibi)
= 2→(2→4→2)→2
= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4.kurala göre)
= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2
= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (yine 3'e göre)
= 2→(2→(2→(4)))→2 (2'ye göre)
= 2→(2→(16))→2 (2'ye göre)
= 2→65536→2
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4'e göre) 65535 parantezli
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (yine 3'e göre)
= 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (2'ye göre)
= 2→(2→(2→(...16...)))) (2'ye göre)
=
Knuth okları ile:
2→3→2→2
= 2→3→(2→3)→1 (4'e göre)
= 2→3→8 (2 ve 3) Knuth okları ile: 2 ↑8 3 (özellik1)
= 2→(2→2→7)→7 (1)
= 2→4→7 (iki tane başlangıç 2'si 4 eder [özellik6]) Knuth okları ile: 2 ↑7 4 (özellik1)
= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)
= 2→(2→4→6)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4)
= 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4)
= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4)
= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (özellik6)
= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (önceki örnekten)
= önceki sayıdan çok büyüktür
Knuth okları ile:
3→2→2→2
= 3→2→(3→2)→1 (4)
= 3→2→9 (2 ve 3)
= 3→3→8 (4)
Knuth okları ile:
Sistematik örnekler
Dört terimlilerin en basit durumları (2'den küçük tam sayı içermez):
Bunu
Buradan örneğin,
Devam edersek:
Ackermann işlevi
Ackermann işlevi, Conway dizisi ok gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:
m>2 için, A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3
olduğundan dolayı,
n>2 için, 2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 olur.
(n=1 ve n=2, sırasıyla A(m,-2)=-1 ve A(m,-1)=1'i karşılayabilir. Bu mantıksal olarak eklenebilir).
Graham sayısı
Graham sayısı
İspat: Sırasıyla kural 3 ve kural 4'deki açıklamaları uygularsak şunları elde ederiz:
f hızlı olarak artarken,
Çok büyük sayıyı dizi okları ile ifade etmek oldukça kolaydır. Örneğin,
sayısı Graham sayısından çok büyüktür.