Prizmalar Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

    Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
    prizmalar-1.png
    Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.
    prizmalar-2.png
    [AA'], [BB'], [CC'], [DD'] yanal ayrıtlardır.
    Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir.
    Cismin yüksekliğine h dersek
    h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.

    Prizmanın Hacmi
    Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
    prizmalar-3.png
    Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.

    Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik

    Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.

    Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı

    1. Dikdörtgenler Prizması
    prizmalar-4.png
    Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

    Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları:

    |AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
    |BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda

    Hacim = a.b.c
    Alan =2(ab+bc+ac)
    Alan = 2 (ab + bc + ac)
    Cisim Köşegeni: e =prizmalar-5.png
    Yüzey Köşegeni: f = prizmalar-6.png

    2. Kare Prizma
    Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.
    prizmalar-kare-prizma.png
    Hacim = a² . h
    Yanal Alan = 4 . a . h
    Alan = 4.ah + 2.a²
    Cisim köşegeni : e = kare-prizma-kosegen.png

    3. Küp
    Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
    kare-prizma-kup.png
    Hacim = a³
    Alan = 6a²

    Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
    kare-prizma-2.png
    kare-prizma-3.png

    4. Üçgen Prizmalar
    Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
    Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.

    a. Eşkenar Üçgen Prizma
    Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
    eskenar-ucgen-prizma.png
    Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
    Taban alanı eskenar-ucgen-prizma-taban-alani.png Hacim eskenar-ucgen-prizma-hacim.png

    Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.

    Buradan tüm alanı
    Tüm alan eskenar-ucgen-prizma-tum-alan.png

    b. Dik Üçgen Prizma
    Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
    dik-ucgen-prizma.png
    Tabanı dik üçgen olduğundan
    Taban alanı = dik-ucgen-prizma-taban-alani.png Hacim dik-ucgen-prizma-hacim.png
    Taban çevresi a + b + c olduğundan,
    Yanal alan = (a + b + c) . h
    Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h

    5. Silindir
    Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
    silindir-prizma.png

    Taban alanı= πr²
    Hacim= πr²h
    Taban çevresi πr olduğundan yanal alan 2πrh olur.
    silindir-olusur.png
    Tüm alan = 2πrh+ 2πr Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.

    6. Düzgün Çokgen Prizmalar
    Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

    Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.


    EĞİK PRİZMALAR
    1. Eğik Kare Prizma
    egik-prizmalar.png
    Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.

    Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
    Prizmanın yüksekliği h =l .sin α olur.

    Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.

    Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,
    a'=a.sin α kadardır.

    Buradan;

    Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin α
    Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin α

    Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
    Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt
    bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.

    Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

    Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.
    Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

    2. Eğik Silindir
    egik-silindir.png
    |AA'| = |BB'| = l
    Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,
    h=l.sin α
    Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin a

    Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
    Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
    Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
    Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt
     
    Son düzenleme: 6 Şubat 2015