Piramitler, Koni ve Küre - Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    PİRAMİTLER



    Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.
    piramit-geo-1.png
    T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi. Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur. |TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır. Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

    piramit-geo-2.png

    1.Kare Piramit
    piramit-geo-3.png
    Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur. İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir. |PH| = h piramidin yüksekliğidir. Yan yüz yüksekliği |PK| dır.

    Tabanının bir kenarına a dersek piramit-geo-4.png

    Buradan yan yüz yüksekliği |PK|2 = h2 + ( piramit-geo-5.png )2 olur.
    piramit-geo-6.png piramit-geo-7.png
    Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

    2. Eşkenar Üçgen Piramit
    Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.
    piramit-geo-8.png piramit-geo-9.png

    3. Düzgün Dörtyüzlü
    duzgun-dortyuzlu.png
    Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner. Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün Yarı yüz yüksekliği duzgun-dortyuzlu-1.png ve Cisim yüksekliği duzgun-dortyuzlu-2.png olur Buradan duzgun-dortyuzlu-3.png duzgun-dortyuzlu-4.png

    4. Düzgün Sekizyüzlü
    Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği duzgun-sekizyuzlu.png olur.

    Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu düşünürsek piramitlerin yüksekliği; olur.
    duzgun-sekizyuzlu-1.png
    Piramitin hacmi duzgun-sekizyuzlu-2.png olduğundan; duzgun-sekizyuzlu-3.png duzgun-sekizyuzlu-4.png
    Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan duzgun-sekizyuzlu-5.png

    5. Düzgün Altıgen
    Piramit Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

    KONİ



    Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir. Taban alanı = koni-geo-1.png olduğundan koni-geo-2.png koni-geo-3.png bulunur.
    Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.
    KONİ
    koni-geo-4.png
    Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir. Burada; Taban yarıçapı |OB| = r Cisim yüksekliği |PO| = h olur. |PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir. POB dik üçgeninde, h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır. Koninin yanal alanı bir daire dilimidir. koni-geo-5.png Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan, Yanal alan= pr2+prl Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir. Tüm alan = šr2 + šrl

    Daire diliminin merkez açısına a dersek

    koni-geo-6.png oranı elde ederiz.

    Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

    koni-geo-7.png

    Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

    koni-geo-8.png koni-geo-9.png
    Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır. [O1B] // [O2D] olduğundan koni-geo-10.png benzerliği vardır. Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı koni-geo-11.png dir. Alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan, alanlar oranı koni-geo-12.png olur. Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek koni-geo-13.png
    koni-geo-14.png

    KÜRE


    Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir. kure-geo-1.png
    O merkezli R yarıçaplı kürede; kure-geo-2.png
    Yüzey alanı kure-geo-3.png

    1. Küre Dilimi
    [KL] çap m(AOB) = a şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi kure-geo-4.png kure-geo-5.png

    2. Küre Kapağı
    kure-geo-6.png
    Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek |OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır. h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan Küre parçasının haçmi kure-geo-7.png kure-geo-8.png
     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016