Permütasyon, Kombinasyon ve Binom Açılımı - Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    PERMÜTASYON



    A. SAYMANIN TEMEL KURALI

    1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

    2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

    1. Toplama Kuralı

    Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun

    s(A) = m
    s(B) = n
    s(A ᴖ B ) = ø

    olmak üzere,

    s(A ᴗ B ) = s(A) + s(B)

    = m + n dir.

    Sonuç

    Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

    2. Çarpma Kuralı

    2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

    (a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
    (a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

    . . .

    (a1, a2, a3, ... , an) ifadesine sıralı n li denir.
    A ve B sonlu iki küme olsun
    s(A) = m
    s(B) = n

    olmak üzere,

    s(A . B) = s(A) . s(B) = m . n dir.

    A . B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

    Sonuç

    İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte

    m . n

    yolla yapılabilir.

    B. FAKTÖRİYEL

    1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

    0! = 1
    1! = 1
    2! = 1.2 = 2
    3! = 1.2.3 = 6
    4! = 1.2.3.4 = 24

    Sonuç

    n! = n . (n - 1)!
    = n . (n - 1) . (n - 2)!

    C. PERMÜTASYON (SIRALAMA) TANIMI

    r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

    n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

    permutasyon-tanim.png

    Sonuç

    1. P(n, n) = n!
    2. P(n, 1) = n
    3. P(n, n – 1) = n! dir.

    D. TEKRARLI PERMÜTASYON
    n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

    n = n1 + n2 + n3 + ... + nr

    olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
    tekrarli-permutasyon.png

    E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
    n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
    n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
    (n – 1)! dir.
    n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
    sayısı : dairesel-permutasyon.png (n > 2)

    KOMBİNASYON



    TANIM
    r ve n birer doğal sayı ve r ∈ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

    n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı kombinasyon-tanim.png

    Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.

    kombinasyon-tanim-1.png

    • n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
    kombinasyon-tanim-2.png

    • Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
    a) Çizilebilecek doğru sayısı kombinasyon-tanim-3.png

    b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan kombinasyon-tanim-4.png tane üçgen çizilebilir.

    • Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok kombinasyon-tanim-3.png farklı
    noktada kesişirler.

    • Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

    kombinasyon-sekil.png

    Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan kombinasyon-ornek-1.png tane paralelkenar oluşur.

    • Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok kombinasyon-ornek-2.png tane kesim
    noktası vardır.

    BİNOM AÇILIMI



    A. TANIM

    n doğal sayı olmak üzere,
    binom-acilimi.png
    ifadesine binom açılımı denir.

    Burada;
    binom-kat-sayi.png
    sayılarına binomun kat sayıları denir.
    binom-terim.png
    ifadelerinin her birine terim denir.
    bimon-carpan-1.png ifadesinde bimon-carpan-2.png kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.

    B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ

    1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

    2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.

    3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.

    4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
    baştan (r + 1). terim : bimon-terim-1.png
    sondan (r + 1). terim : bimon-terim-2.png
    (x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.

    Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
    • n pozitif doğal sayı olmak üzere,

    (x + y)2n nin açılımında ortanca terim
    bimon-terim-3.png

    • n pozitif doğal sayı olmak üzere,
    bimon-terim-4.png açılımındaki sabit terim,
    bimon-terim-5.png
    ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.

    • c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.

    • (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
    bimon-terim-6.png
     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016