Özel Üçgenler Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    DİK ÜÇGEN
    Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.
    ozel-ucgenler-1.png
    Yukarıdaki şekilde, m(A) = 90°
    [BC] kenarı hipotenüs
    [AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır.

    PİSAGOR BAĞINTISI

    Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
    ozel-ucgenler-2.png
    ABC üçgeninde m(A) = 90°
    a²=b²+c²

    ÖZEL DİK ÜÇGENLER

    1. (3 - 4 - 5) Üçgeni
    ozel-ucgenler-3.png
    Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

    2. (5 - 12 - 13)
    ozel-ucgenler-4.png
    Üçgeni Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.
    ozel-ucgenler-5.png
    Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.
    ozel-ucgenler-6.png
    Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

    3. İkizkenar dik üçgen

    ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = a√2 m(A) = m(C) = 45°

    İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların √2 katıdır.

    4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni
    ozel-ucgenler-7.png
    ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH (30° - 60° - 90°) üçgenleri elde edilir.

    |AB| = |AC| = a
    |BH| = |HC| = ozel-ucgenler-8.png
    pisagordan ozel-ucgenler-9.png

    ozel-ucgenler-10.png
    (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar, 30° nin karşısındaki kenarın √3 katıdır.

    5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni
    ozel-ucgenler-11.png
    (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar a√3 olur.

    6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni
    ozel-ucgenler-12.png
    (15° - 75° - 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.

    ÖKLİT BAĞINTILARI
    ozel-ucgenler-13.png
    Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

    1.) Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
    h2 = p.k

    2.) b2 = k.a
    c2 = p.a


    3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

    a.h =b.c

    Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak ozel-ucgenler-14.png elde edilir. Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

    İKİZKENAR ÜÇGEN
    ozel-ucgenler-15.png
    İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

    1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
    ozel-ucgenler-16.png
    |AB| = |AC|
    |BH| = |HC|
    m(B) = m(C)

    2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
    ozel-ucgenler-17.png
    |AB| = |AC|,
    [AH] ┴ [BC]
    m(B) = m(C)

    3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
    ozel-ucgenler-18.png
    |AB| = |AC|
    m(BAH) = m(HAC)
    m(B) = m(C)

    İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

    4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir.
    ozel-ucgenler-19.png
    Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.
    ozel-ucgenler-20.png
    5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.
    ozel-ucgenler-21.png
    6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

    7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.
    ozel-ucgenler-22.png

    |AB| = |AC| → |LC| = |HP| + |KP|

    8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.
    ozel-ucgenler-23.png
    ozel-ucgenler-24.png

    EŞKENAR ÜÇGEN

    1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.
    ozel-ucgenler-25.png
    nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc
    ozel-ucgenler-27.png
    2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik ozel-ucgenler-26.png

    Bu durumda eşkenar üçgenin alanı ozel-ucgenler-28.png yükseklik cinsinden alan değeri
    Alan(ABC) = ozel-ucgenler-29.png

    3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.
    ozel-ucgenler-30.png
    Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;
    ozel-ucgenler-31.png

    4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.
    ozel-ucgenler-32.png
    Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde
    ozel-ucgenler-33.png
     
    Son düzenleme: 26 Ocak 2015