Noktanın Analitik İncelemesi - Konu Anlatımı

Matematik bölümünde yer alan bu konu Ömer tarafından paylaşıldı.

  1. Ömer

    Ömer Yönetici

    Noktanın Analitik İncelemesi Konu Anlatımı

    1. Analitik Düzlem

    Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
    nokta-geo-1.png
    Dik koordinat sistemi

    Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir. Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.
    nokta-geo-2.png
    P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.
    nokta-geo-3.png
    Orijinin koordinatları O(0,0) dır. x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.
    • Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.
    I. Bölge: x > 0 y > 0 II. Bölge: x < 0 y > 0 III. Bölge: x < 0 y < 0 IV. Bölge: x > 0 y < 0
    nokta-geo-4.png

    2. İki nokta arasındaki uzaklık

    a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.
    • Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir. A(a, c) ve B(a, b) noktaları için |AB| = |c – b|
    nokta-geo-5.png
    • Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.
    A(b, a) ve B(c, a) noktaları için |AB| = |c – b|
    nokta-geo-6.png

    b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık
    nokta-geo-7.png
    Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir. A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir. AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir. Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık; nokta-geo-8.png eşitliği ile bulunabilir. Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.
    • İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.
    İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır. Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.
    nokta-geo-9.png

    c. Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı nokta-geo-10.png nokta-geo-11.png

    3.Orta Nokta Koordinatları
    nokta-geo-12.png
    Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise nokta-geo-13.png nokta-geo-14.png
    • Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.
    ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır. Buradan; x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4
    nokta-geo-15.png

    4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları
    nokta-geo-16.png
    Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur. A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için, nokta-geo-17.png eşitliği vardır. Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir. m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir. Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir. m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir. 5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:
    nokta-geo-18.png nokta-geo-19.png nokta-geo-20.png
    Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir. 6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.
    nokta-geo-21.png nokta-geo-22.png

    nokta-geo-23.png
    Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.) Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.
    • Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
    • Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

     
    Son düzenleme: 11 Ekim 2016