RayOfHope
Üye
iS T A T i S Ti K
D E R S N O T L A R I
D E R S N O T L A R I
Đstatistik:
Eldeki kıt bilgilerle incelenen olay hakkında doğru karar verebilme tekniklerini
kapsayan bir bilim dalıdır.
kapsayan bir bilim dalıdır.
Veri:
Kaydedilmis bilgiye denir.
Değisken:
ﾇesitli değerler alabilen zelliklere denir. Değiskenler sayısal ya da niteliksel
olabilir. Niteliksel değiskenler ise sayısal değer almazlar. Sz gelimi sa ve gz rengi birer
niteliksel değiskendir. Sayısal değiskenler ise sayısal değer alırlar. Đnsanların boyları, yasları,
ağırlıkları sayısal değiskendir. Değiskenler srekli ya da sreksiz olabilirler. Srekli
değiskenler belirli bir aralık olustururlar. ﾇnk srekli değiskenler tam ve ondalık sayı
değerleri alırlar. ﾖrneğin; insanların boyları, yasları, ağırlıkları srekli değiskendir. Bir
blgedeki araba sayısı sreksiz değiskendir. ﾇnk bunlar tam sayı değerleri alırlar. Niteliksel
değiskenler sreksiz kabul edilir.
olabilir. Niteliksel değiskenler ise sayısal değer almazlar. Sz gelimi sa ve gz rengi birer
niteliksel değiskendir. Sayısal değiskenler ise sayısal değer alırlar. Đnsanların boyları, yasları,
ağırlıkları sayısal değiskendir. Değiskenler srekli ya da sreksiz olabilirler. Srekli
değiskenler belirli bir aralık olustururlar. ﾇnk srekli değiskenler tam ve ondalık sayı
değerleri alırlar. ﾖrneğin; insanların boyları, yasları, ağırlıkları srekli değiskendir. Bir
blgedeki araba sayısı sreksiz değiskendir. ﾇnk bunlar tam sayı değerleri alırlar. Niteliksel
değiskenler sreksiz kabul edilir.
Yığın (ana ktle):
ﾜzerinde inceleme yapılan tm birimlerin olusturduğu kmeye denir.
ﾖrnek:
Ana ktlenin ulasabildiği kesime rnek denir.
ﾖrnekleme:
ﾖrnek seme islemine rnekleme denir. ﾖrnekleme iradeli ve iradesiz ekimle
yapılır. ﾖrnekleme iadesiz ekimle yapılıyorsa yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı yoktur. Đadeli rnekleme yapılıyorsa; yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı vardır. Đstatistikte ﾖrnekleme yaparken her bir birimin rneğe girme sansının aynı
olmasına dikkat edilir. Bu nedenle istatistikte seilen rnekler birer sans rneğidir. Ayrıca
rneğe gre birimlerin birbirinden bağımsız olma durumu vardır, yani bir birimin rneğe
girmesini diğer bir birim etkilemez.
yapılır. ﾖrnekleme iadesiz ekimle yapılıyorsa yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı yoktur. Đadeli rnekleme yapılıyorsa; yığındaki birimlerin rneğe birden fazla girme
sansı vardır. Đstatistikte ﾖrnekleme yaparken her bir birimin rneğe girme sansının aynı
olmasına dikkat edilir. Bu nedenle istatistikte seilen rnekler birer sans rneğidir. Ayrıca
rneğe gre birimlerin birbirinden bağımsız olma durumu vardır, yani bir birimin rneğe
girmesini diğer bir birim etkilemez.
Đstatistik:
ﾖrnekten hesaplanan karakteristik değerlere istatistik denir, istatistikler
değiskendir, rnekten rneğe gre değisir. Đstatistikler ana ktle parametrelerinin birer nokta
tahminleyicisidir. Szn ettiğimiz istatistikler rnekten hesapladığımız: Aritmetik ortalama,
varyans, standart sapma ve orandır. Đstatistikleri asağıdaki sekilde ifade ederiz;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran
değiskendir, rnekten rneğe gre değisir. Đstatistikler ana ktle parametrelerinin birer nokta
tahminleyicisidir. Szn ettiğimiz istatistikler rnekten hesapladığımız: Aritmetik ortalama,
varyans, standart sapma ve orandır. Đstatistikleri asağıdaki sekilde ifade ederiz;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran
Parametre:
Ana ktleye iliskin karakteristik değerlere parametre denir. Parametreler sabittir,
değismezler parametreler; aritmetik ortalama, varyans, standart sapma ve orandır. Bu
parametreleri asağıdaki sekilde gsterilir;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran
değismezler parametreler; aritmetik ortalama, varyans, standart sapma ve orandır. Bu
parametreleri asağıdaki sekilde gsterilir;
1) Aritmetik Ortalama.
2) Varyans.
3) Standart Sapma.
4) Oran
A. Frekans ve Sınıflandırılmıs Seriler
Frekans Seriler ve Grafikleri
ﾖrnek:
x (Değisken) f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 1
5 1
Frekans Seriler ve Grafikleri
ﾖrnek:
x (Değisken) f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 1
5 1
Verilen frekans serisinin grafiğini iziniz ?
Not:
Değisken değerleri yatay ( x ) frekanslar ise dsey ( y ) ekseni zerinde gsterilir.
Histogram
Genlikle sınıflandırılmıs serilerde kullanılan bir grafik trdr. Frekans serileri de iinde
kullanılabilmektedir. Birbirine bitisik dikdrtgenlerden olusur. Bir sınıfa ait dikdrtgenin
alanı ile sınıfın frekansı esit hale gelir. Bunun iinde her bir sınıfın ayarlanmıs frekansları
bulunur, sınıfların ayarlanmıs frekansları bulunurken ilgili sınıfın frekansını sınıf alanına
bleriz. Bylece sınıfları yatay ayarlanmıs frekansları dsey eksende gstererek histogramı
izeriz.
kullanılabilmektedir. Birbirine bitisik dikdrtgenlerden olusur. Bir sınıfa ait dikdrtgenin
alanı ile sınıfın frekansı esit hale gelir. Bunun iinde her bir sınıfın ayarlanmıs frekansları
bulunur, sınıfların ayarlanmıs frekansları bulunurken ilgili sınıfın frekansını sınıf alanına
bleriz. Bylece sınıfları yatay ayarlanmıs frekansları dsey eksende gstererek histogramı
izeriz.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8
Verilen sınıflandırılmıs serinin histogramını iziniz ?
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 3
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Histogram
Frekans Poligonu
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 3
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Histogram
Frekans Poligonu
Verilen sınıflandırılmıs serinin frekans poligonunu izerken nce histogramı izeriz. Sonra
birinci dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden birincisini orta noktası ile bu
dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestiririz. Daha sonra birinci dikdrtgenin st
taban orta noktası ile ikinci dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve bu sekilde
devam ederiz. En son dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden ikincisinin orta noktası
ile bu dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve yatay eksene doğru uzatırız. En
basta izdiğimiz izgiyi de yatay eksene doğru uzatır ve kapalı bir sekil elde ederiz, buna
birinci dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden birincisini orta noktası ile bu
dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestiririz. Daha sonra birinci dikdrtgenin st
taban orta noktası ile ikinci dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve bu sekilde
devam ederiz. En son dikdrtgenin yksekliğini gsteren iki izgiden ikincisinin orta noktası
ile bu dikdrtgenin st tabanının orta noktasını birlestirir ve yatay eksene doğru uzatırız. En
basta izdiğimiz izgiyi de yatay eksene doğru uzatır ve kapalı bir sekil elde ederiz, buna
frekans poligonu
denir. Frekans poligonun evrelediği alan ile histogramın evrelediği
blgenin alanı birbirine esit olur.
blgenin alanı birbirine esit olur.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 8
8-12 12
12-16 16
16-20 20
20-24 16
24-28 12
28-32 8
Verilen sınıflandırılmıs serinin frekans poligonunu iziniz ?
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 4
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Frekans Poligonu
Frekans Eğrisi:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 12 4 12:4 = 3
12-16 16 4 16:4 = 4
16-20 20 4 20:4 = 5
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 12 4 12:4 = 4
28-32 8 4 8:4 = 2
Toplam Alan = 92
Frekans Poligonu
Frekans Eğrisi:
Sınıflandırılmıs serideki sınıf aralıkları ok kk olursa frekans poligonu
frekans eğrisine dnsr.
frekans eğrisine dnsr.
Đstatistikte Frekans Eğrileri
Ters J J Eğrisi
Simetri U Eğrisi
Ters J J Eğrisi
Simetri U Eğrisi
Sola Eğik Eğri Sağa Eğik Eğri
Not:
Not:
Sınıflandırılmıs serisine mutlak okluk blm de denir.
Oransal ﾇokluk Blm
Mutlak okluk blmn; herhangi bir sınıfın sınıf frekansını toplam sınıfa blersek elde
ettiğimiz ondalık sayıya ilgili sınıfın oransal frekansı denir. Bu sekilde elde edilmis sınıfsal
seriye de oransal okluk blm denir.
ettiğimiz ondalık sayıya ilgili sınıfın oransal frekansı denir. Bu sekilde elde edilmis sınıfsal
seriye de oransal okluk blm denir.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3
Verilen mutlak okluk blmnde her bir sınıfın oransal frekansını bularak serinin okluk
blmne dnstrn ?
blmne dnstrn ?
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
0,05
4-8 2 0,10
8-12 3 0,15
12-16 5 0,25
16-20 4 0,20
20-24 2 0,10
24-28 3 0,10
Not: Oransal frekans toplamı daima 1’e esittir.
4-8 2 0,10
8-12 3 0,15
12-16 5 0,25
16-20 4 0,20
20-24 2 0,10
24-28 3 0,10
Not: Oransal frekans toplamı daima 1’e esittir.
Birikimli Seriler
Bir seride her hangi bir değerin altında yada stnde ka tane veri değerinin bulunduğunun
bilinmesi birikimli serilerle sağlanır. Verilen bir mutlak okluk blmnde ……den az,
……den ok esasına gre birikimli frekanslarını bulursak szn ettiğimiz mutlak okluk
bilinmesi birikimli serilerle sağlanır. Verilen bir mutlak okluk blmnde ……den az,
……den ok esasına gre birikimli frekanslarını bulursak szn ettiğimiz mutlak okluk
blm birikimli okluk blmne dnsr. Đste bu tr sınıflandırılmıs serilere birikimli
seriler denir.
seriler denir.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 3
12-16 5
16-20 4
20-24 2
24-28 3
Verilen mutlak okluk blnmn de her bir sınıfın ……den az, ……den ok esasına gre
birikimli frekanslarını bularak verilen mutlak okluk blnmn birikimli okluk blnm
sekline dnstrnz.
birikimli frekanslarını bularak verilen mutlak okluk blnmn birikimli okluk blnm
sekline dnstrnz.
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20
Not:
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20
Not:
Sınıflandırılmıs serilerde herhangi bir sınıfın ……den aza gre birikimli frekansı bir
nceki sınıfın birikimli frekansı ile kendisinin sınıf frekansının toplamına esittir.
nceki sınıfın birikimli frekansı ile kendisinin sınıf frekansının toplamına esittir.
Not:
En byk sınıfın ……den aza gre birikimli frekansı toplam frekansa esit olur.
Not:
……den az serisinin eğrisi artan eğridir.
Not:
……den azda noktalı yerlere sınıflatın st sınırları gelir.
Not:
Yasları 20’den az ka kisi vardır denirse 20’nin bulunduğu (st sınır olarak) sınıfı
……den aza gre birikimli frekansı alırız.
……den aza gre birikimli frekansı alırız.
Not:
Sınıfların ……den oğa gre birikimli frekansı bulunurken sınıfların alt sınırları
getirilir.
getirilir.
Not:
En kk sınıfın ……den ok esasına gre birikimli frekansı her zaman toplam
frekansa esittir.
frekansa esittir.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20
Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den ok
0-4 1 1 20
4-8 2 3 19
8-12 3 6 17
12-16 5 11 14
16-20 4 15 9
20-24 2 17 5
24-28 3 20 3
Toplam Frekans= 20
Verilen sınıflandırılmıs serinin ……den az, ……den ok esasına gre birikimli seri grafiğini
iziniz.
iziniz.
ﾇzm:
Not:
Not:
……den aza gre grafik izerken en kk sınıfın alt sınırı x’ dir ve “sıfır” olarak alınır
y’ si de “sıfır” olarak alınır. En kk sınıfın st sınırı x olarak alındığında ……den aza gre
birikimli frekansı y olarak alınır. Kısaca ……aza gre birikimli frekanslar sınıfların st
sınırlarına karsılık gelir. Halbuki ……den ok esasına gre grafik izerken en kk sınıfın
alt sınırı “x” olarak alınır. ……den oğa gre birikimli frekanslar sınıfların alt sınıflarına denk
getirilir.
y’ si de “sıfır” olarak alınır. En kk sınıfın st sınırı x olarak alındığında ……den aza gre
birikimli frekansı y olarak alınır. Kısaca ……aza gre birikimli frekanslar sınıfların st
sınırlarına karsılık gelir. Halbuki ……den ok esasına gre grafik izerken en kk sınıfın
alt sınırı “x” olarak alınır. ……den oğa gre birikimli frekanslar sınıfların alt sınıflarına denk
getirilir.
Not:
……den az eğrisi devamlı ykselis gsterir.
……den ok eğrisi devamlı azalıs gsterir.
……den ok eğrisi devamlı azalıs gsterir.
Not:
16’dan az ka kisi vardır denildiğinden 16 sayısını st sınırlar ierisinde arar buluruz,
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den aza gre birikimli frekansa bakarız.
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den aza gre birikimli frekansa bakarız.
Not:
12’den ok ka kisi vardır denildiğinden 12 sayısının alt sınırlar ierisinde arar buluruz,
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den ok esasına birikimli frekansını belirleriz.
(Cevap:14 olarak bulunur)
bulduktan sonra bu sayının karsısındaki ……den ok esasına birikimli frekansını belirleriz.
(Cevap:14 olarak bulunur)
Not:
……den ok eğrisini izerken en byk sınıfın st sınırına “sıfır” karsılık gelir.
Merkezi Eğilim ﾖlleri
Bir serideki veri değerlerinin hangi nokta etrafında toplanma eğilimi gsterdiğinin bilinmesi
merkezi eğilim lleriyle sağlanır. Merkezi eğilim lleri duyarlı duyarsız olmak zere iki
sınıfta incelenir.
merkezi eğilim lleriyle sağlanır. Merkezi eğilim lleri duyarlı duyarsız olmak zere iki
sınıfta incelenir.
A) Duyarlı Merkezi Eğilim ﾖlleri
1) Aritmetik Ortalama
a) Basit Serilerde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ x
X =
n
ﾖrnek:
X
3
7
12
17
21
1) Aritmetik Ortalama
a) Basit Serilerde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ x
X =
n
ﾖrnek:
X
3
7
12
17
21
n = 5
Verilen basit serinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?
Verilen basit serinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?
ﾇzm:
3 + 7 + 12 + 17 + 21 60
X = = = 12
5 5
X = = = 12
5 5
b) Frekans Serilerinde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ f . x
X =
Σ f
ﾖrnek:
Seriler X f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 3
5 3
n= 10
Forml:
Σ f . x
X =
Σ f
ﾖrnek:
Seriler X f ( Frekans)
1 1
2 1
3 2
4 3
5 3
n= 10
Verilen frekans serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?
ﾇzm:
Seriler X f ( Frekans) f . x
1 1 1
2 1 2
3 2 6
4 3 12
5 3 15
n= 10 Σ f.x = 36
36
X = = 3,6
10
Aıklama:
Seriler X f ( Frekans) f . x
1 1 1
2 1 2
3 2 6
4 3 12
5 3 15
n= 10 Σ f.x = 36
36
X = = 3,6
10
Aıklama:
Aritmetik ortalamayı bulurken değisken olan “x” değerleriyle frekansları ayrı ayrı
arpılıp toplanır, bulanan toplam değer, toplam frekansa blnr bylece frekans serilerinin
ortalaması bulunur.
arpılıp toplanır, bulanan toplam değer, toplam frekansa blnr bylece frekans serilerinin
ortalaması bulunur.
c) Sınıflandırılırmıs Serilerde Aritmetik Ortalama
Forml:
Σ f .
Forml:
Σ f .
x i
X =
Σ f
ﾖrnek:
X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 1
8-12 2
12-16 2
16-20 1
20-24 2
24-28 1
Σ f
ﾖrnek:
X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 1
8-12 2
12-16 2
16-20 1
20-24 2
24-28 1
Verilen sınıflandırılmıs serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ?
ﾇzm:
X f ( Frekans) X f . x
0-4 1 2 2
4-8 1 6 6
8-12 2 10 20
12-16 2 14 28
16-20 1 18 18
20-24 2 22 44
24-28 1 26 26
n = 10 144
X f ( Frekans) X f . x
0-4 1 2 2
4-8 1 6 6
8-12 2 10 20
12-16 2 14 28
16-20 1 18 18
20-24 2 22 44
24-28 1 26 26
n = 10 144
144
X = = 14,4
10
Aıklama:
X = = 14,4
10
Aıklama:
Sınıflandırılmıs serilerde aritmetik ortalamayı bulurken nce her bir sınıfın sınıf
orta değerini ayrı ayrı buluruz daha sonra sınıf orta değeriyle frekanslarını karsılıklı olarak
arpıp toplarız, bulduğumuz toplam değeri toplam frekansa bleriz. Bylece sınıflandırılmıs
serinin aritmetik ortalamasını buluruz.
orta değerini ayrı ayrı buluruz daha sonra sınıf orta değeriyle frekanslarını karsılıklı olarak
arpıp toplarız, bulduğumuz toplam değeri toplam frekansa bleriz. Bylece sınıflandırılmıs
serinin aritmetik ortalamasını buluruz.
d) Tartılı Aritmetik Ortalama
Serideki veri değerlerinin nem dereceleri arasında fark varsa aritmetik ortalamayı
hesaplarken bu farklar dikkate alınıyorsa burada tartılı aritmetik ortalama vardır.
Tartılı aritmetik ortalama hesaplarken değisken değerle tartılar karsılıklı olarak arpılır;
bulanan toplam, toplam tartıya blnr.
hesaplarken bu farklar dikkate alınıyorsa burada tartılı aritmetik ortalama vardır.
Tartılı aritmetik ortalama hesaplarken değisken değerle tartılar karsılıklı olarak arpılır;
bulanan toplam, toplam tartıya blnr.
ﾖrnek:
Bir ğrencinin asağıdaki derslerden on zerinden aldıkları notlar ile derslerin haftalık ders
saatleri asağıya ıkarılmıstır:
saatleri asağıya ıkarılmıstır:
Dersler Notlar Haftalık Ders Saatleri ( Kredi Saati ) f
Đstatistik 8 3
Đktisat 6 4
Đngilizce 7 2
Đstatistik 8 3
Đktisat 6 4
Đngilizce 7 2
Bu verilere gre bu ğrencinin bu derslerde ki not ortalaması nedir ?
ﾇzm:
x f x . f
8 3 24
6 4 24
7 2 14
Toplam: 9 Toplam: 62
62
X = = 6,8888
9
ﾖrnek:
x f x . f
8 3 24
6 4 24
7 2 14
Toplam: 9 Toplam: 62
62
X = = 6,8888
9
ﾖrnek:
Bir ğrencinin istatistik dersinden 100 zerinden aldığı notlar: Birinci ara sınavdan 70 ; ikinci
ara sınavdan 80 ; finalden ise 90 almıstır. Birinci ara sınav ğrencinin basarı notunu % 15 ;
ikinci ara sınav % 25 final notu ise basarı notunu % 60 etkilemistir. Bu ğrencinin basarı
notunu hesaplayınız.
ara sınavdan 80 ; finalden ise 90 almıstır. Birinci ara sınav ğrencinin basarı notunu % 15 ;
ikinci ara sınav % 25 final notu ise basarı notunu % 60 etkilemistir. Bu ğrencinin basarı
notunu hesaplayınız.
ﾇzm:
Sınavlar Notlar
1. Ara Sınav 70
2. Ara Sınav 80
Final Sınavı 90
Sınavlar Notlar
1. Ara Sınav 70
2. Ara Sınav 80
Final Sınavı 90
( 70 % 15 ) + ( 80 % 25 ) + ( 90 % 60 ) =
84,5
10,5 20 54
Aritmetik Ortalamanın ﾖzellikleri
1) Aritmetik ortalama serideki veri değerlerine yakın bir değer ise bu durumda
aritmetik ortalama seriyi iyi temsil ediyor denir. Aritmetik ortalama veri
değerlerinden uzaklastıka seriyi temsil gc azalır. Aritmetik ortalama asırı
değerlerden etkilenir.
10,5 20 54
Aritmetik Ortalamanın ﾖzellikleri
1) Aritmetik ortalama serideki veri değerlerine yakın bir değer ise bu durumda
aritmetik ortalama seriyi iyi temsil ediyor denir. Aritmetik ortalama veri
değerlerinden uzaklastıka seriyi temsil gc azalır. Aritmetik ortalama asırı
değerlerden etkilenir.
2)
Serideki veri değerlerinden aritmetik ortalamayı ayrı ayrı ıkarırsak
bulduğumuz farklara serideki veri değerlerinin sapmaları denir. Serideki veri
değerlerinin sapmalarının cebirsel (artılı / eksili) toplamı daima “sıfır” olur.
bulduğumuz farklara serideki veri değerlerinin sapmaları denir. Serideki veri
değerlerinin sapmalarının cebirsel (artılı / eksili) toplamı daima “sıfır” olur.
ﾖrnek:
x x - x
3 3 – 10 = -7
7 7 – 10 = -3
10 10 – 10 = 0
11 11 – 10 = 1
19 19 – 10 = 9
0
3+7+10+11+19
X = = 10
5
3)
7 7 – 10 = -3
10 10 – 10 = 0
11 11 – 10 = 1
19 19 – 10 = 9
0
3+7+10+11+19
X = = 10
5
3)
Serideki veri değerleriyle aritmetik ortalamalarının kareleri toplamı en kk
olur, yani minimum olur.
olur, yani minimum olur.
4)
Serideki her bir veri değerinin sıfırdan farklı aynı bir sayıyla arpılınca elde
edilen yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması aynı
dediğimiz sayıyla arpımına esittir. Sz gelimi bir serinin tm veri değerlerini
ayrı ayrı drtle ( 4 ) arptığımızda elde ettiğimiz bu yeni serinin aritmetik
ortalaması ilk serinin aritmetik ortalamasının drt katı olur.
edilen yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması aynı
dediğimiz sayıyla arpımına esittir. Sz gelimi bir serinin tm veri değerlerini
ayrı ayrı drtle ( 4 ) arptığımızda elde ettiğimiz bu yeni serinin aritmetik
ortalaması ilk serinin aritmetik ortalamasının drt katı olur.
5)
Serideki veri değerlerine aynı sayıyı eklersek elde ettiğimiz yeni serinin
aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması ile aynı sayının toplamına
esittir.
aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması ile aynı sayının toplamına
esittir.
2) Geometrik Ortalama
Forml:
Forml:
G =
√X1. X2 ………… Xn forml ile hesaplanır.
a) Basit Serilerde Geometrik Ortalama
ﾖrnek:
ﾖrnek:
x
2
4
8
4
8
Serisinin geometrik ortalamasını bulunuz ?
ﾇzm:
G =
3√2.4.8 = 3√64 = 3√43 = 4
b) Frekans Serilerinde Geometrik Ortalama
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Geometrik Ortalama
3) Harmonik Ortalama
a) Basit Serilerde Harmonik Ortalama
b) Frekans Serilerinde Ve Sınıflandırılmıs Serilerde Harmonik Ortalama
4) Kareli Ortalama
a) Basit Serilerde Kareli Ortalama
b) Frekans Serilerinde Kareli Ortalama
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Kareli Ortalama
B) Duyarlı Olmayan Merkezi Eğilim ﾖlleri
1) Ortanca ( Medyan )
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Geometrik Ortalama
3) Harmonik Ortalama
a) Basit Serilerde Harmonik Ortalama
b) Frekans Serilerinde Ve Sınıflandırılmıs Serilerde Harmonik Ortalama
4) Kareli Ortalama
a) Basit Serilerde Kareli Ortalama
b) Frekans Serilerinde Kareli Ortalama
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Kareli Ortalama
B) Duyarlı Olmayan Merkezi Eğilim ﾖlleri
1) Ortanca ( Medyan )
Seriyi bastan % 50 sondan % 50 olmak zere iki esit kısma ayıran değere ortanca yani
medyan denir.
Verilen bir serinin meydanının bulurken serideki veri değerlerinin kkten byğe doğru
sıralanmıs olması gerekir. Veri değerleri kkten byğe doğru sıralandıktan sonra veri
sayısı n olmak zere bastan
medyan denir.
Verilen bir serinin meydanının bulurken serideki veri değerlerinin kkten byğe doğru
sıralanmıs olması gerekir. Veri değerleri kkten byğe doğru sıralandıktan sonra veri
sayısı n olmak zere bastan
n + 1 veri değeri medyan olarak alınır.
2
Basit serilerde yada frekans serilerinde veri sayısının tek yada ift olması nemlidir
Sınıflandırılmıs serilerde veri sayısının tek yada ift olması nemli değildir. Sınıflandırılmıs
serilerde bastan
Sınıflandırılmıs serilerde veri sayısının tek yada ift olması nemli değildir. Sınıflandırılmıs
serilerde bastan
n veri değeri medyan olarak alınır.
2
Basit serilerde ve frekans serilerinde veri sayısı tek ise tam ortada bir terim bulunur. Bu terim
medyan olarak alınır. Bu durumda medyan seriye aittir. Basit serilerde ve frekans serilerinde
veri sayısı ift ise tam ortada iki terim bulunur, tam ortada buluna bu iki terimin toplamlarının
yarısı yani aritmetik ortalaması bize medyanı verir. Bu durumda medyan diziye ait bir veri
değeri değildir.
medyan olarak alınır. Bu durumda medyan seriye aittir. Basit serilerde ve frekans serilerinde
veri sayısı ift ise tam ortada iki terim bulunur, tam ortada buluna bu iki terimin toplamlarının
yarısı yani aritmetik ortalaması bize medyanı verir. Bu durumda medyan diziye ait bir veri
değeri değildir.
Kartil
Seriyi drt esit paraya ayıran değerlere “kartil” denir. Bunlar tanedir;
1. Kartil
1. Kartil
Q1
2. Kartil
Q2
3. Kartil
Q3 ile gsterilir
2. kartil olan Q2 tam ortada bulunduğu iin serinin medyanı olur. Bu nedenle medyana aynı
zamanda 2. kartil denir.
1. kartil seriyi bastan % 25, sondan % 75 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. kartil seriyi bastan % 50, sondan % 50 oranında iki kısma ayıran değerdir.
3. kartil seriyi bastan % 75, sondan % 25 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. kartil olan Q2 tam ortada bulunduğu iin serinin medyanı olur. Bu nedenle medyana aynı
zamanda 2. kartil denir.
1. kartil seriyi bastan % 25, sondan % 75 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. kartil seriyi bastan % 50, sondan % 50 oranında iki kısma ayıran değerdir.
3. kartil seriyi bastan % 75, sondan % 25 oranında iki kısma ayıran değerdir.
Desil
Seriyi on esit paraya ayıran değerlere “desil” denir. Bunlar 9 tanedir.
Besinci desil olan d
Besinci desil olan d
5 tam ortada bulunduğu iin aynı zamanda ortancadır (medyan).
1. desil seriyi bastan % 10, sondan %90 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. desil seriyi bastan % 20, sondan %80 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
desillerde tanımlanır.
1. desil seriyi bastan % 10, sondan %90 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. desil seriyi bastan % 20, sondan %80 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
desillerde tanımlanır.
Santil
Seriyi yz esit paraya ayıran değerlere “santil” denir. Bunlar 99 tanedir.
ellinci santil olan C
ellinci santil olan C
50 tam ortada bulunduğu iin aynı zamanda ortancadır (medyan).
1. santil seriyi bastan % 1, sondan %99 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. santil seriyi bastan % 2, sondan %98 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
santillerde tanımlanır.
1. santil seriyi bastan % 1, sondan %99 oranında iki kısma ayıran değerdir.
2. santil seriyi bastan % 2, sondan %98 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu sekil de diğer
santillerde tanımlanır.
Kantil
Burada szn ettiğimiz kartil, desil ve santil kavramlarının hepsine birden “kantil” denir.
a) Basit Serilerde Medyan
ﾖrnek:
ﾖrnek:
x
2
5
3
9
14
19
12
5
3
9
14
19
12
Serisinin medyanı nedir ?
ﾇzm:
x
2
3
5
3
5
9
12
14
19
14
19
n = veri değeri
n = 7 veri sayısı tek, serinin bastan
n = 7 veri sayısı tek, serinin bastan
n + 1 7 + 1 = 4. veri değeri, yani medyan = 9’dur.
2 2
ﾖrnek:
ﾖrnek:
X
2
5
3
9
14
19
12
15
5
3
9
14
19
12
15
Serisinin medyanı nedir ?
ﾇzm:
X
2
5
3
5
3
9
12
12
14
15
19
15
19
n = 8
veri sayısı ift serinin bastan
veri sayısı ift serinin bastan
n + 1 7 + 1 = 4,5. veri değeri medyan = 9 + 12 = 10,5’dur
2 2 2
Not:
Not:
Veri sayısı ift olduğunda medyanın bastan kaınıcı veri değeri olduğunu gsteren sayı
daima ondalık sayı ıkar ve ondalık kısmı 5 olur. Bizim rnekte veri sayısı 8 yani ift olduğu
iin serinin bastan 4,5. veri değeri medyan olarak bulunmustur. Bu da drdnc ile besinci
daima ondalık sayı ıkar ve ondalık kısmı 5 olur. Bizim rnekte veri sayısı 8 yani ift olduğu
iin serinin bastan 4,5. veri değeri medyan olarak bulunmustur. Bu da drdnc ile besinci
veri değerlerinin toplamının yarısı olacak demektir. Eğer değer 7,5 olsaydı yedinci ve
sekizinci veri değerlerinin toplamının yarısını alacaktık.
sekizinci veri değerlerinin toplamının yarısını alacaktık.
b) Frekans Serilerinde Medyan
Frekans serilerinde de basit derilerde olduğu gibi veri sayısının yani toplam frekansın tek
yada ift olması nemlidir.
yada ift olması nemlidir.
ﾖrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20
Frekans serisinin medyanı nedir ?
Not:
Kartil hesabı yapılırken basit seriler hari frekans ve sınıflandırılmıs serilerde ……den
az hesabına gre birikimli frekanslar bulunur.
az hesabına gre birikimli frekanslar bulunur.
ﾇzm:
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8
5
2 10
6 2 12
6 2 12
7 2 14
8 3 17
9 2 19
10 1 20
Toplam = 20
8 3 17
9 2 19
10 1 20
Toplam = 20
veri sayısı ift serinin bastan
n + 1 20 + 1 = 10,5. veri değeri(10,5 denilince 10 ve 11
alınır.) 2 2
alınır.) 2 2
medyan =
5 + 6 = 5,5’dur
2
Not:
Frekans serisinde 3’n (X not) ……den aza gre birikimli frekansı 5’tir yleyse serinin
bastan an son 5. veri değeri 3 demektir
bastan an son 5. veri değeri 3 demektir
Not:
Seride medyanın bastan 9,5. veri değeri olduğu karsımıza ıksaydı bu defa serinin bastan
9. ve 10. veri değerlerini toplayıp ikiye blerdik. ﾖrneğimizde bastan 9. ve 10. veri değerleri
bir baska deyisle bastan 9. ve 10. ğrencilerin aldığı notlar 5 — 5 olacaktı, bu durumda
medyan ( 5 + 5 ) / 2 = 5 olur.
9. ve 10. veri değerlerini toplayıp ikiye blerdik. ﾖrneğimizde bastan 9. ve 10. veri değerleri
bir baska deyisle bastan 9. ve 10. ğrencilerin aldığı notlar 5 — 5 olacaktı, bu durumda
medyan ( 5 + 5 ) / 2 = 5 olur.
ﾖrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 2
3 2
4 3
5 2
6 2
7 2
8 3
9 2
10 1
Toplam = 20
Frekans serisinin medyanı nedir ?
ﾇzm:
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8
5 2 10
X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az
1 1 1
2 2 3
3 2 5
4 3 8
5 2 10
6
2 12
7 2 14
8 3 17
9 2 19
10 2 20
Toplam = 21
8 3 17
9 2 19
10 2 20
Toplam = 21
veri sayısı tek serinin bastan
n + 1 21 + 1 = 11. veri değeri medyan = 6
2 2
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Medyan
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Medyan
Sınıflandırılmıs serilerde toplam frekansın yani veri sayısının tek yada ift olması nemli
değildir.
Σf = n olsun
değildir.
Σf = n olsun
Bu durumda bastan
n . veri değeri medyan olur.
2
Sınıflandırılmıs serilerde bastan
n . veri değerinin bulunduğu sınıf medyan sınıfıdır.
2
Sınıflandırılmıs serilerde medyan asağıdaki formlle hesaplanır;
Forml:
N c
Medyan = L + d •
2 f
N c
Medyan = L + d •
2 f
L
Medyan sınıfı alt sınırı.
N
Toplam frekans.
d
Medyan sınıfından bir nceki sınıfın ……den az esasına gre birikimli frekansı.
c
Medyan sınıfının sınıf aralığı.
f
Medyan sınıfının sınıf frekansı.
ﾖrnek:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 3
24-28 2
28-32 2
32-36 3
Toplam(n) = 10
ﾖrnek:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 3
24-28 2
28-32 2
32-36 3
Toplam(n) = 10
Verilen serinin medyan sınıfı ve medyan frekansını bulunuz ?
ﾇzm:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans) ……den az
0-4 1 1
4-8 2 3
8-12 2 5
12-16 3 8
X ( Sınıflar ) f ( Frekans) ……den az
0-4 1 1
4-8 2 3
8-12 2 5
12-16 3 8
16-20
2 10
20-24 3 13
24-28 2 15
28-32 2 17
32-36 3 20
Toplam(n) = 20
24-28 2 15
28-32 2 17
32-36 3 20
Toplam(n) = 20
Medyan sınıfı
Serinin bastan;
n = 20 = 10. veri değeri medyan olur.
2 2
Not:
Not:
Medyan değerinin bulunduğu sınıf ise medyan sınıfı olarak alınır.
L = 16
N = 20
d = 8
c = 4
f = 2
N = 20
d = 8
c = 4
f = 2
N c
Medyan = L + d •
2 f
20 4
Medyan = 16 + 8 • = 16 + ( 10 – 8 ) . 2 = 16 + 4 = 20
2 2
Medyan = L + d •
2 f
20 4
Medyan = 16 + 8 • = 16 + ( 10 – 8 ) . 2 = 16 + 4 = 20
2 2
Mod
Mod terimi moda kelimesinden gelmektedir. Szgelimi bir firmanın rettiği rn
esitlerinden hangisine talep fazla ise en fazla talep olan rn esidi mod olur. Bu nedenle
mod firmaların ileriye dnk retim planlaması yapmalarına yardımcı olur.
esitlerinden hangisine talep fazla ise en fazla talep olan rn esidi mod olur. Bu nedenle
mod firmaların ileriye dnk retim planlaması yapmalarına yardımcı olur.
a) Basit Serilerde Mod
Basit serilerde en fazla tekrar eden veri değeri mod olur.
ﾖrnek:
X
2
3
3
3
5
5
7
9
X
2
3
3
3
5
5
7
9
Verilen serinin modu nedir ?
ﾇzm:
X
2
X
2
3
3
3
3
3
5
5
7
9
5
7
9
Verilen serinin modu 3’tr.
b) Frekans Serilerinde Mod
Frekans serilerinde frekansı en yksek olan veri değeri mod olur.
ﾖrnek:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 4
8 2
9 2
10 2
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 4
8 2
9 2
10 2
Verilen frekans sersinin modu nedir ?
ﾇzm:
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
X ( notlar ) f ( Frekans)
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 4
8 2
9 2
10 2
9 2
10 2
Verilen serinin modu 7’dir
Not:
Frekans serilerinde frekans mod olmaz. Mod frekansı en yksek olan veri değeri dir.
c) Sınıflandırılmıs Serilerde Mod
Frekansı en yksek olan sınıf mod sınıfı olur mod bu sınıfta yer alır. Mod sınıfının sınıf orta
değerinin yaklasık olarak mod değeri almamız mmkndr.
değerinin yaklasık olarak mod değeri almamız mmkndr.
ﾖrnek:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 4
12-16 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 4
12-16 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2
Verilen sınıflandırılmıs serinin modu nedir ?
ﾇzm:
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
X ( Sınıflar ) f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 4
12-16 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2
16-20 2
20-24 2
24-28 1
28-32 2
32-36 2
Mod =
8 + 12 = 10’dur
2
Mod = 10
Not:
Sınıflandırılmıs serilerde histogram izerek te mod bulabiliriz.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 4
4-8 8
8-12 16
12-16 12
16-20 24
20-24 16
24-28 8
28-32 12
32-36 4
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 4
4-8 8
8-12 16
12-16 12
16-20 24
20-24 16
24-28 8
28-32 12
32-36 4
Verilen serinin histogramını izerek modunun bulunuz ?
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
0-4 4 4 4:4 = 1
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 16 4 16:4 = 4
12-16 12 4 12:4 = 3
16-20 24 4 24:4 = 6
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 8 4 8:4 = 2
28-32 12 4 12:4 = 3
32-36 4 4 4:4 = 1
Histogram
Dağılma ﾖlleri
Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n
0-4 4 4 4:4 = 1
4-8 8 4 8:4 = 2
8-12 16 4 16:4 = 4
12-16 12 4 12:4 = 3
16-20 24 4 24:4 = 6
20-24 16 4 16:4 = 4
24-28 8 4 8:4 = 2
28-32 12 4 12:4 = 3
32-36 4 4 4:4 = 1
Histogram
Dağılma ﾖlleri
Bir seride veri değerlerinin merkez nokta etrafında hangi lde dağıldığının bilinmesi
dağılma lleriyle sağlanır. Dağılma lleri iki grupta incelenir;
1) Mutlak Dağılma ﾖlleri
2) Mutla Olmayan ( oransal ) Dağılma ﾖlleri
A- Mutlak Dağılma ﾖlleri
dağılma lleriyle sağlanır. Dağılma lleri iki grupta incelenir;
1) Mutlak Dağılma ﾖlleri
2) Mutla Olmayan ( oransal ) Dağılma ﾖlleri
A- Mutlak Dağılma ﾖlleri
a) Değisim Aralığı
Serideki en byk veri değeri ile en kk veri değeri arasındaki farka değisim aralığı denir.
Forml:
D.A = X
maks - Xmin
1) Basit Serilerde Değisim Aralığı
ﾖrnek:
X
ﾖrnek:
X
2
5
11
21
27
11
21
27
37
Verilen serinin değisim aralığı nedir ?
ﾇzm:
D.A = 37 – 2 = 35’dir.
2) Frekans Serilerinde Değisim Aralığı
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 1
2 2
3 1
4 2
5 1
6 2
7 1
8 2
9 1
10 2
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 1
2 2
3 1
4 2
5 1
6 2
7 1
8 2
9 1
10 2
Verilen frekans serisinin değisim aralığı nedir ?
ﾇzm:
D.A = 10 – 1 = 9’dur.
3) Sınıflandırılmıs Serilerde Değisim Aralığı
En byk sınıfın st sınırı ile en kk sınıfın alt sınırı arasındaki fark değisim aralığı olur.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 2
32-36 1
36-40 2
Sınıflar X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 2
32-36 1
36-40 2
Verilen sınıflandırılmıs serinin değisim aralığı nedir ?
ﾇzm:
D.A = 40 – 4 = 36’dır.
b) Ortalama Sapma
1) Basit Serilerde Ortalama Sapma
Forml:
1) Basit Serilerde Ortalama Sapma
Forml:
Σ │X- X│
O.S =
n
O.S =
n
ﾖrnek:
X
3
7
12
18
20
X
3
7
12
18
20
Verilen serinin ortalama sapmasını bulunuz ?
ﾇzm:
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.
X X – X │ X – X │
3 3 – 12 = -9 9
7 7 – 12 = -5 5
12 12 – 12 = 0 0
18 18 – 12 = 6 6
20 20 – 12 = 8 8
Toplam = 28
3 3 – 12 = -9 9
7 7 – 12 = -5 5
12 12 – 12 = 0 0
18 18 – 12 = 6 6
20 20 – 12 = 8 8
Toplam = 28
3 + 7 + 12 + 18 + 20
X = = 12
5
28
O.S = = 5,6
5 (n: satır sayısı)
X = = 12
5
28
O.S = = 5,6
5 (n: satır sayısı)
2) Frekans Serilerinde Ortalama Sapma
Forml:
Forml:
Σ f .│X- X│
O.S =
Σ f Veri sayısı.
O.S =
Σ f Veri sayısı.
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 3
2 2
3 1
4 1
5 2
6 3
7 2
8 2
9 2
10 2
Sınıflar X f ( Frekans)
1 3
2 2
3 1
4 1
5 2
6 3
7 2
8 2
9 2
10 2
Verilen frekans serisinin ortalama sapmasını bulunuz ?
ﾇzm:
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.
Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X │ X – X │ f.│ X – X │
1 3 3 1 – 6 = -5 5 15
2 2 4 2 – 6 = -4 4 8
3 1 3 3 – 6 = -3 3 3
4 1 4 4 – 6 = -2 2 2
5 2 10 5 – 6 = -1 1 2
6 3 18 6 – 6 = 0 0 0
7 2 14 7 – 6 = 1 1 2
8 2 16 8 – 6 = 2 2 4
9 2 18 9 – 6 = 3 3 6
10 2 20 10 – 6 = 4 4 8
N= 20 Topl =110 Toplam = 50
1 3 3 1 – 6 = -5 5 15
2 2 4 2 – 6 = -4 4 8
3 1 3 3 – 6 = -3 3 3
4 1 4 4 – 6 = -2 2 2
5 2 10 5 – 6 = -1 1 2
6 3 18 6 – 6 = 0 0 0
7 2 14 7 – 6 = 1 1 2
8 2 16 8 – 6 = 2 2 4
9 2 18 9 – 6 = 3 3 6
10 2 20 10 – 6 = 4 4 8
N= 20 Topl =110 Toplam = 50
Σ f . x
X =
Σ f
110
X = = 5,5 yaklasık olarak “6” alırız
20
50
O.S = = 2,5
20
X =
Σ f
110
X = = 5,5 yaklasık olarak “6” alırız
20
50
O.S = = 2,5
20
3) Sınıflandırılmıs Serilerde Ortalama Sapma
Forml:
Forml:
Σ f .│ X
i- X│
O.S =
Σ f
O.S =
Σ f
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 2
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 1
4-8 2
8-12 2
12-16 1
16-20 2
20-24 2
Verilen sınıflandırılmıs serinin ortalama sapmasını bulunuz ?
ﾇzm:
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.
Sınıflar X f ( Frekans) X
i f. Xi Xi – X │ Xi – X │ f.│Xi – X │
0-4 1 2 2 -11 11 11
4-8 2 6 12 -7 7 14
8-12 2 10 20 -3 3 6
12-16 1 14 14 1 1 1
16-20 2 18 36 5 5 10
20-24 2 22 44 9 9 18
N = 10 T =128 Topl = 60
0-4 1 2 2 -11 11 11
4-8 2 6 12 -7 7 14
8-12 2 10 20 -3 3 6
12-16 1 14 14 1 1 1
16-20 2 18 36 5 5 10
20-24 2 22 44 9 9 18
N = 10 T =128 Topl = 60
X
i = Sınıf Orta Noktaları
128
X = = 12,8 yaklasık olarak “13” alırız
10
Σ f .│ Xi- X│
O.S =
Σ f
60
O.S = = 6
10
128
X = = 12,8 yaklasık olarak “13” alırız
10
Σ f .│ Xi- X│
O.S =
Σ f
60
O.S = = 6
10
Not:
Sınıflandırılmıs serilerde değisken değerleri sınıf orta noktaları olur.
c) ﾇeyrek Sapma ( Yarı Kartil Aralığı )
Forml:
Forml:
Q
3 – Q1
Y.K.A = forml ile bulunur
2
2
1) Sınıflandırılmıs Serilerde ﾇeyrek Sapma
ﾖrnek:
X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 2
24-28 3
28-32 2
32-36 1
N = 16
ﾇzm:
X f ( Frekans) ……den az
4-8 1 1
8-12 2 3
12-16 3 6
16-20 2 8
20-24 2 10
24-28 3 13
28-32 2 15
32-36 1 16
N = 16
ﾖrnek:
X f ( Frekans)
4-8 1
8-12 2
12-16 3
16-20 2
20-24 2
24-28 3
28-32 2
32-36 1
N = 16
ﾇzm:
X f ( Frekans) ……den az
4-8 1 1
8-12 2 3
12-16 3 6
16-20 2 8
20-24 2 10
24-28 3 13
28-32 2 15
32-36 1 16
N = 16
N c
Q
Q
1 =L1 + d •
4 f
bastan N . 16 = 4. veri değeri, Q1’dir ( 1. kartil)
4 4
16 4
Q1 = 12 + 3 • =
4 3
4
Q1 = 12 + = 13,3 ( 1. Kartil )
3
bastan 3N . 3 . 16 = 12. veri değeri, Q3’dr ( 3. kartil)
4 4
3N c
Q3 =L3 + d •
4 f
3 .16 4
Q3 =24 + 10 •
4 3
Q3 = 24 + {12 – 10 } 4/3
Q3 = 24 + 8/3 = 26,67 (3. Kartil )
Q3 – Q1
4 f
bastan N . 16 = 4. veri değeri, Q1’dir ( 1. kartil)
4 4
16 4
Q1 = 12 + 3 • =
4 3
4
Q1 = 12 + = 13,3 ( 1. Kartil )
3
bastan 3N . 3 . 16 = 12. veri değeri, Q3’dr ( 3. kartil)
4 4
3N c
Q3 =L3 + d •
4 f
3 .16 4
Q3 =24 + 10 •
4 3
Q3 = 24 + {12 – 10 } 4/3
Q3 = 24 + 8/3 = 26,67 (3. Kartil )
Q3 – Q1
ﾇeyrek Sapma =
2
26,67 – 13,3
ﾇeyrek Sapma = = 6,685
2
2
26,67 – 13,3
ﾇeyrek Sapma = = 6,685
2
Not:
Q3 – Q1 kartil aralığıdır Q3 – Q1 ‘de yarı kartil aralığıdır.
2
2
d) Varyans ve Standart Sapma
Serideki veri değerlerinin aritmetik ortalamadan uzaklıklarının lsne standart sapma denir.
Standart sapmanın karesine ise varyans denir.
Standart sapmanın karesine ise varyans denir.
Forml:
Σ │ X - X│
2
S
2 = ile hesaplanır.
n
Varyansın pozitif karekk alınarak standart sapma bulunur.
n
Varyansın pozitif karekk alınarak standart sapma bulunur.
Not:
Basit seride varyans hesaplanırken nce serinin aritmetik ortalaması bulunur, daha sonra
seride ki veri değerleri yani değisken değerlerinden aritmetik ortalama ayrı ayrı ıkarılarak
yazılır. Yeni sapmalar bulunur, bulduğumuz sapmaların ayrı ayrı karekkn alırız, bu
aldığımız kare değerlerini toplarız sonra bulduğumuz toplam değeri veri sayısına bleriz
bylece varyansı bulmus oluruz. Varyansın pozitif karekkn alarak standart sapmayı
buluruz.
seride ki veri değerleri yani değisken değerlerinden aritmetik ortalama ayrı ayrı ıkarılarak
yazılır. Yeni sapmalar bulunur, bulduğumuz sapmaların ayrı ayrı karekkn alırız, bu
aldığımız kare değerlerini toplarız sonra bulduğumuz toplam değeri veri sayısına bleriz
bylece varyansı bulmus oluruz. Varyansın pozitif karekkn alarak standart sapmayı
buluruz.
1) Basit Serilerde Varyans ve Standart Sapma
ﾖrnek:
X
3
7
12
16
22
ﾖrnek:
X
3
7
12
16
22
Verilen serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?
ﾇzm:
3 + 7 + 12 + 16 +22
X = = 10
6
X = = 10
6
X X – X ( X – X )
2
3 3 – 10 = -7 49
7 7 – 10 = -3 9
12 12 – 10 = -2 4
16 16 – 10 = 6 36
22 22 – 10 = 10 100
158
7 7 – 10 = -3 9
12 12 – 10 = -2 4
16 16 – 10 = 6 36
22 22 – 10 = 10 100
158
158
S
S
2 = = 31,6
5
Varyans S = √ 31,6 = 6,033
5
Varyans S = √ 31,6 = 6,033
2) Frekans Serilerinde Varyans ve Standart Sapma
Forml:
Forml:
Σ f .│ X - X│
2
S
2 = ile hesaplanır.
Σ f
Σ f
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
1 2
2 3
3 2
4 1
5 2
N= 10
Sınıflar X f ( Frekans)
1 2
2 3
3 2
4 1
5 2
N= 10
Verilen frekans serisinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?
ﾇzm:
Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X ( X – X )
Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X ( X – X )
2 f. (X – X ) 2
1 2 2 1 – 3 = -2 4 8
2 3 6 2 – 3 = -1 1 3
3 2 6 3 – 3 = 0 0 0
4 1 4 4 – 3 = 1 1 1
5 2 10 5 – 3 = 2 4 8
N= 10 Topl =28 Toplam = 20
2 3 6 2 – 3 = -1 1 3
3 2 6 3 – 3 = 0 0 0
4 1 4 4 – 3 = 1 1 1
5 2 10 5 – 3 = 2 4 8
N= 10 Topl =28 Toplam = 20
28
X = = 2,8 yaklasıl olarak “3” alırız.
10
20
S
X = = 2,8 yaklasıl olarak “3” alırız.
10
20
S
2 = = 2
10
Standart Sapma = √ 2 = 1,4
10
Standart Sapma = √ 2 = 1,4
3) Sınıflandırılmıs Serilerde Varyans ve Standart Sapma
Forml:
Σ f .│ X
i - X│2
S
2 = ile hesaplanır.
Σ f
Σ f
ﾖrnek:
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 2
4-8 2
8-12 2
12-16 2
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 3
32-36 2
36-40 2
N = 20
Sınıflar X f ( Frekans)
0-4 2
4-8 2
8-12 2
12-16 2
16-20 2
20-24 1
24-28 2
28-32 3
32-36 2
36-40 2
N = 20
Verilen sınıflandırılmıs serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz?
ﾇzm:
Soruyu zmek iin nce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz.
Sınıflar X f ( Frekans) X
i f. Xi Xi – X ( Xi – X ) 2 f. (Xi – X ) 2
0-4 2 2 4 -18 324 648
4-8 2 6 12 -14 196 292
8-12 2 10 20 -10 100 200
12-16 2 14 28 -6 36 72
16-20 2 18 36 -2 4 8
20-24 1 22 22 2 4 4
24-28 2 26 52 6 36 72
28-32 3 30 90 8 64 300
32-36 2 34 68 14 196 392
36-40 2 38 76 18 324 648
N = 20 T =408 Topl = 2736
4-8 2 6 12 -14 196 292
8-12 2 10 20 -10 100 200
12-16 2 14 28 -6 36 72
16-20 2 18 36 -2 4 8
20-24 1 22 22 2 4 4
24-28 2 26 52 6 36 72
28-32 3 30 90 8 64 300
32-36 2 34 68 14 196 392
36-40 2 38 76 18 324 648
N = 20 T =408 Topl = 2736
408
X = = 20,4 yaklasıl olarak “20” alırız.
20
2736
S
X = = 20,4 yaklasıl olarak “20” alırız.
20
2736
S
2 = = 136,8 Varyans
20
Standart Sapma = √136,8 = 16,69
20
Standart Sapma = √136,8 = 16,69
Oransal Dağılma ﾖls
1) Değisim Katsayısı
1) Değisim Katsayısı
Değisim katsayısı oransal bir dağılma lsdr, bir baska deyimle mutlak olmayan bir
dağılma lsdr. Değisim katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamasının bir yzdesi
olarak ifadesidir, bir baska deyimle standart sapma aritmetik ortalamanın %’de kaıdır
sorusuna yanıt aradığımızda yapacağımız islem bize değisim katsayısını verir.
dağılma lsdr. Değisim katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamasının bir yzdesi
olarak ifadesidir, bir baska deyimle standart sapma aritmetik ortalamanın %’de kaıdır
sorusuna yanıt aradığımızda yapacağımız islem bize değisim katsayısını verir.
Forml:
S
Değisim Katsayısı
Değisim Katsayısı
= .100 ile bulunur
X
Değisken katsayısı aritmetik ortalamanın bir yzdesi olarak ifade edilir. Değisim katsayısı tek
basına bir anlam ifade etmez. Bir seride standart sapma ne kadar kk ıkarsa serideki veri
değerleri aritmetik ortalama etrafında o kadar sıka dağılıyor demektir. Bir baska deyimle
standart sapma kldke veri değerlerinin aritmetik ortalama etrafında daha sıka
dağılmaları sz konusudur. Standart sapma byk olursa veri değerleri aritmetik ortalamadan
uzaklasıyor demektir. Değisim katsayısı iki serinin trdeslik aısından karsılastırılmasında
kullanılır. Biraz nce sylediğimiz gibi benzer sekilde hangi serinin değisim katsayısı kk
ıkarsa kk ıkan seri değerine nazaran daha trdestir denir. Bir baska deyimle değisim
katsayısı kk ıkan seride veri değerleri aritmetik ortalama etrafında diğer seriye gre daha
sıka dağılıyor demektir.
X
Değisken katsayısı aritmetik ortalamanın bir yzdesi olarak ifade edilir. Değisim katsayısı tek
basına bir anlam ifade etmez. Bir seride standart sapma ne kadar kk ıkarsa serideki veri
değerleri aritmetik ortalama etrafında o kadar sıka dağılıyor demektir. Bir baska deyimle
standart sapma kldke veri değerlerinin aritmetik ortalama etrafında daha sıka
dağılmaları sz konusudur. Standart sapma byk olursa veri değerleri aritmetik ortalamadan
uzaklasıyor demektir. Değisim katsayısı iki serinin trdeslik aısından karsılastırılmasında
kullanılır. Biraz nce sylediğimiz gibi benzer sekilde hangi serinin değisim katsayısı kk
ıkarsa kk ıkan seri değerine nazaran daha trdestir denir. Bir baska deyimle değisim
katsayısı kk ıkan seride veri değerleri aritmetik ortalama etrafında diğer seriye gre daha
sıka dağılıyor demektir.
Not:
Hangisi kk ıkarsa o trdes olur.
ﾖrnek:
Bir fabrikada alısanların ağırlıklarının ortalaması 60 standart sapması ise 8’dir, bu fabrikada
alısanların yaslarının ortalaması 32 standart sapması ise 4’dr. Bu iki dağılımdan hangisi
diğerine gre daha trdestir. Değisim katsayılarını bularak belirleyiniz?
alısanların yaslarının ortalaması 32 standart sapması ise 4’dr. Bu iki dağılımdan hangisi
diğerine gre daha trdestir. Değisim katsayılarını bularak belirleyiniz?
ﾇzm:
8
Değisim Katsayısı
Değisim Katsayısı
A = . 100
60
(D.K) A = % 13,3
4
Değisim KatsayısıY = . 100
32
(D.K) Y = % 12,5
12,5<13,3 olduğundan yaslara iliskin dağılım, ağırlıklara iliskin dağılıma nazaran daha
trdestir. Bir baska deyimle yaslara iliskin dağılımdaki veri değerleri ağırlıklara iliskin
60
(D.K) A = % 13,3
4
Değisim KatsayısıY = . 100
32
(D.K) Y = % 12,5
12,5<13,3 olduğundan yaslara iliskin dağılım, ağırlıklara iliskin dağılıma nazaran daha
trdestir. Bir baska deyimle yaslara iliskin dağılımdaki veri değerleri ağırlıklara iliskin
dağılımdaki veri değerlerine nazaran aritmetik ortalama etrafında daha sıka dağılmaktadır.
