Conway dizisi ok gösterimi nedir ?

Matematik bölümünde yer alan bu konu SaMeT46 tarafından paylaşıldı.

  1. SaMeT46

    SaMeT46 Moderatör

    Conway dizisi ok gösterimi, çok büyük sayıları ifade etmek için matematikçi John Horton Conway tarafından oluşturuldu. Pozitif tam sayılar serisini basitçe sağa doğru oklarla ayırarak gösterir. Örneğin, 2→3→4→5→6.

    Çok kombinatorik sembolojiler ile tanımı özyinelemedir. Bundan dolayıdır ki gösterim, sayının bazı tamsayı kuvvetini yükselterek çözmektir.

    Tanım ve önizleme
    Conway dizisi (veya kısa dizi) şöyle tanımlanır:

    • Her pozitif tamsayı uzunluğu 1 olan dizidir.
    • n uzunluğundaki bir dizi, sağ oktan sonra pozitif tam sayı gelir ve bu dizi formunun uzunluğu [​IMG] olur.
    Her dizi bir tam sayı ifade eder ve şu dört kuralı içerir. Eğer aynı tam sayıyı ifade ediyorlarsa iki dizi eşdeğerdir.

    Eğer p ve q pozitif tam sayı ve X bir alt dizi ise:

    1. [​IMG] dizisi p sayısını ifade eder.
    2. [​IMG]'nun üslü ifadesi [​IMG]'dir.
    3. [​IMG], [​IMG]'ye eşdeğerdir.
    4. [​IMG], [​IMG]'ye eşdeğerdir
      (q > 0 için, p tane X, p - 1 tane q ve p - 1 tane çift parantez uygulanır).
    Son ifade üç nokta, kısaltma yapmak için kullanıldı:

    4a. [​IMG]
    4b. [​IMG]
    Özellikler

    1. Uzunluğu 3 olan bir dizi Knuth yukarı ok gösterimini ve hiperişlemleri ifade eder:
    2. X→p formunun X→Y dizisinden dolayı:
    3. a ile başlayan bir dizi, a nın bir kuvvetidir
    4. 1→Y dizisi 1'e eşittir
    5. X→1→Y dizisi X'e eşittir
    6. 2→2→Y dizisi 4'e eşittir
    7. X→2→2 dizisi X→(X)'e eşittir (X dizisinın değeri ona bağlandı)
    Açıklama

    Bir ok dizisini bir bütün olarak işlemekte dikkatli olunmalıdır. Ok dizileri, ikili işleçlerin (operatörlerin) tekrarlı uygulamasını açıklamaz. İçteki diğer sembol dizileri (örn, 3+4+5+6+7), çoğunlukla parçalarla (örn, (3+4)+5+(6+7)) ele alınır ve anlamda bir değişiklik olmaz (birleşmeye bakınız) veya en azından öngörülen sıraya göre adım adım işlem yapılabilir. Örn, [​IMG] sağdan sola doğru. Örneğin:

    • [​IMG]
    • [​IMG]
    • [​IMG]
    Dördüncü kural temeldir. 2 veya daha büyük sayı ile biten 3 veya daha fazla elemanlı dizi, aynı uzunlukta, sondan bir önceki elemanı (genellikle büyük oranda) artan bir dizi olur. Fakat onun sonelemanı küçültülür.

    Örnekler

    Örnekler oldukça karışıktır. Burada birkaçına yer vereceğiz:

    n

    = n (1.kurala göre)
    p→q

    = pq (2.kurala göre)
    Burada 3→4 = 34 = 81
    1→(her oklu ifade)

    = 1 tam ifade sonuçta 1sayı = 1 olarak azaldığında.
    4→3→2

    = 4→(4→(4)→1)→1 (4.kurala göre) ve sonra iç parantezlerden dışa doğru,
    = 4→(4→4→1)→1 (gereksiz parantezler kaldırıldı)
    = 4→(4→4)→1 (3'e göre)
    = 4→(256)→1 (2'ye göre)
    = 4→256→1
    = 4→256 (3'e göre)
    = 4256 (2'ye göre)
    = 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10154
    Knuth oklarıyla: [​IMG]

    2→2→4

    = 2→(2)→3 (4'e göre)
    = 2→2→3
    = 2→2→2 (4'e göre)
    = 2→2→1 (4'e göre)
    = 2→2 (3'e göre)
    = 4 (2) (4 için her dizi 2 tane 2 ile başlar)
    2→4→3

    = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (4.'e göre) Dört tane X (ki buradakisi 2 dir), üç tane q (buradakisi yine 2'dir) ile karışmasını engellemek için koyu yazıldı
    = 2→(2→(2→2→2)→2)→2
    = 2→(2→(4)→2)→2 (önceki örnekteki gibi)
    = 2→(2→4→2)→2
    = 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4.kurala göre)
    = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2
    = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (yine 3'e göre)
    = 2→(2→(2→(4)))→2 (2'ye göre)
    = 2→(2→(16))→2 (2'ye göre)
    = 2→65536→2
    = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4'e göre) 65535 parantezli
    = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (yine 3'e göre)
    = 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (2'ye göre)
    = 2→(2→(2→(...16...)))) (2'ye göre)
    = [​IMG] (216 kule = 65536 kat) = 655362 (Tetrasyona bakınız)
    Knuth okları ile: [​IMG]

    2→3→2→2

    = 2→3→(2→3)→1 (4'e göre)
    = 2→3→8 (2 ve 3) Knuth okları ile: 2 ↑8 3 (özellik1)
    = 2→(2→2→7)→7 (1)
    = 2→4→7 (iki tane başlangıç 2'si 4 eder [özellik6]) Knuth okları ile: 2 ↑7 4 (özellik1)
    = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)
    = 2→(2→4→6)→6 (özellik6)
    = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4)
    = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (özellik6)
    = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4)
    = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (özellik6)
    = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4)
    = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (özellik6)
    = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (önceki örnekten)
    = önceki sayıdan çok büyüktür
    Knuth okları ile: [​IMG]

    3→2→2→2

    = 3→2→(3→2)→1 (4)
    = 3→2→9 (2 ve 3)
    = 3→3→8 (4)
    Knuth okları ile: [​IMG].

    Sistematik örnekler
    Dört terimlilerin en basit durumları (2'den küçük tam sayı içermez):

    • [​IMG]
    (ayrıca bahsedilen son özellikten)
    • [​IMG]
      [​IMG]
    • [​IMG]
    m>2 için burada bir kalıp görebiliriz. Eğer herhangi bir X dizisi için [​IMG] ise, buradan [​IMG] elde ederiz (fonksiyonel kuvvetlere bakınız]]).

    Bunu [​IMG]'ye uygularsak [​IMG] ve [​IMG] olur.

    Buradan örneğin, [​IMG] elde edilir.

    Devam edersek:

    • [​IMG]
    Tekrar genelleştirme yapabiliriz. [​IMG] yazarsak [​IMG] elde ederiz. Buradan [​IMG] olur. Yukarıdaki durumda, [​IMG] ve [​IMG] olur. Buradan da [​IMG] elde edilir.

    Ackermann işlevi
    Ackermann işlevi, Conway dizisi ok gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

    m>2 için, A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3
    olduğundan dolayı,

    n>2 için, 2 → nm = A(m+2,n-3) + 3 olur.
    (n=1 ve n=2, sırasıyla A(m,-2)=-1 ve A(m,-1)=1'i karşılayabilir. Bu mantıksal olarak eklenebilir).

    Graham sayısı

    Graham sayısı [​IMG], kendini Conyaw dizisi ok gösteriminde özlü olarak ifade edemez. Fakat [​IMG] ortanca fonksiyonunu tanımlayarak; [​IMG] (fonksiyonel kuvvetebakınız) ve [​IMG]'yi elde ederiz.

    İspat: Sırasıyla kural 3 ve kural 4'deki açıklamaları uygularsak şunları elde ederiz:

    [​IMG]

    [​IMG] (64 tane [​IMG])
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]

    [​IMG] (64 tane [​IMG])
    [​IMG]

    [​IMG] (64 tane [​IMG])
    [​IMG] (65 tane [​IMG])
    [​IMG] (yukarıdaki gibi hesaplanır).
    f hızlı olarak artarken,

    [​IMG]'de sapma meydana gelir.
    Çok büyük sayıyı dizi okları ile ifade etmek oldukça kolaydır. Örneğin,

    [​IMG]
    sayısı Graham sayısından çok büyüktür.